Matemática discreta Ejemplos

${(x + 2 y)}^{2}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(x + 2 y)}^{2}$ , $n = 2$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $3$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 2 - 1$ .

$1 a^{2} b^{0} + 2 a b + 1 a^{0} b^{2}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $x$ y $b$ en la expresión $2 y$ .

$1 {(x)}^{2} {(2 y)}^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x)}^{2}$ por $1$ .

${(x)}^{2} {(2 y)}^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$x^{2} (2^{0} y^{0}) + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2^{0} x^{2} y^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 x^{2} y^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} y^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} \cdot 1 + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.8

Simplifica.

$x^{2} + 2 x {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.9

Simplifica.

$x^{2} + 2 x (2 y) + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.10

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 2 \cdot 2 x y + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} + 4 x y + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.12

Multiplica ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{2} + 4 x y + {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Paso 4.13

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} + 4 x y + 1 {(2 y)}^{2}$

Paso 4.14

Multiplica ${(2 y)}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 4 x y + {(2 y)}^{2}$

Paso 4.15

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$x^{2} + 4 x y + 2^{2} y^{2}$

Paso 4.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$