Matemática discreta Ejemplos

$| 2 x - 4 | < | x - 1 |$

Paso 1

Reemplaza $<$ por $=$ $| 2 x - 4 | < | x - 1 |$ .

$| 2 x - 4 | = | x - 1 |$

Paso 2

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$2 x - 4 = x - 1$

$2 x - 4 = - (x - 1)$

$- (2 x - 4) = x - 1$

$- (2 x - 4) = - (x - 1)$

Paso 3

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$2 x - 4 = x - 1$

$2 x - 4 = - (x - 1)$

Paso 4

Resuelve $2 x - 4 = x - 1$ en $x$ .

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - 4 - x = - 1$

Paso 4.1.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$x - 4 = - 1$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 1 + 4$

Paso 4.2.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$x = 3$

Paso 5

Resuelve $2 x - 4 = - (x - 1)$ en $x$ .

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Paso 5.1

Simplifica $- (x - 1)$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$2 x - 4 = 0 + 0 - (x - 1)$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$2 x - 4 = - (x - 1)$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 4 = - x - - 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 x - 4 = - x + 1$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x - 4 + x = 1$

Paso 5.2.2

Suma $2 x$ y $x$ .

$3 x - 4 = 1$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1 + 4$

Paso 5.3.2

Suma $1$ y $4$ .

$3 x = 5$

Paso 5.4

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Paso 6

Enumera todas las soluciones.

$x = 3, \frac{5}{3}$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 3$

$x > 3$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{5}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{5}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$| 2 (0) - 4 | < | (0) - 1 |$

Paso 8.1.3

$4$ del lado izquierdo no es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5}{3} < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5}{3} < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$| 2 (2) - 4 | < | (2) - 1 |$

Paso 8.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$| 2 (6) - 4 | < | (6) - 1 |$

Paso 8.3.3

$8$ del lado izquierdo no es menor que $5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{5}{3}$ Falso

$\frac{5}{3} < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < \frac{5}{3}$ Falso

$\frac{5}{3} < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{5}{3} < x < 3$

Paso 10

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(\frac{5}{3}, 3)$

Paso 11