Matemática discreta Ejemplos

$| \frac{x + 6}{3} | > 2$

Paso 1

Escribe $| \frac{x + 6}{3} | > 2$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$\frac{x + 6}{3} \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{x + 6}{3} \cdot 3 \geq 0 \cdot 3$

Paso 1.2.2

Simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 6}{3} \cdot 3 \geq 0 \cdot 3$

Paso 1.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x + 6 \geq 0 \cdot 3$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.2.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$x + 6 \geq 0$

Paso 1.2.3

Resta $6$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 6$

Paso 1.3

En la parte donde $\frac{x + 6}{3}$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$\frac{x + 6}{3} > 2$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$\frac{x + 6}{3} < 0$

Paso 1.5

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.5.1

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{x + 6}{3} \cdot 3 < 0 \cdot 3$

Paso 1.5.2

Simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 6}{3} \cdot 3 < 0 \cdot 3$

Paso 1.5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x + 6 < 0 \cdot 3$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.2.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$x + 6 < 0$

Paso 1.5.3

Resta $6$ de ambos lados de la desigualdad.

$x < - 6$

Paso 1.6

En la parte donde $\frac{x + 6}{3}$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- \frac{x + 6}{3} > 2$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} \frac{x + 6}{3} > 2 & x \geq - 6 \\ - \frac{x + 6}{3} > 2 & x < - 6 \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $\frac{x + 6}{3} > 2$ en $x$ .

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Paso 2.1

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{x + 6}{3} \cdot 3 > 2 \cdot 3$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 6}{3} \cdot 3 > 2 \cdot 3$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x + 6 > 2 \cdot 3$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$x + 6 > 6$

Paso 2.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.3.1

Resta $6$ de ambos lados de la desigualdad.

$x > 6 - 6$

Paso 2.3.2

Resta $6$ de $6$ .

$x > 0$

Paso 3

Resuelve $- \frac{x + 6}{3} > 2$ en $x$ .

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Paso 3.1

Divide cada término en $- \frac{x + 6}{3} > 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término de $- \frac{x + 6}{3} > 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- \frac{x + 6}{3}}{- 1} < \frac{2}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{x + 6}{3}}{1} < \frac{2}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $\frac{x + 6}{3}$ por $1$ .

$\frac{x + 6}{3} < \frac{2}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$\frac{x + 6}{3} < - 2$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{x + 6}{3} \cdot 3 < - 2 \cdot 3$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 6}{3} \cdot 3 < - 2 \cdot 3$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x + 6 < - 2 \cdot 3$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$x + 6 < - 6$

Paso 3.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.4.1

Resta $6$ de ambos lados de la desigualdad.

$x < - 6 - 6$

Paso 3.4.2

Resta $6$ de $- 6$ .

$x < - 12$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$x < - 12$ o $x > 0$

Paso 5

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 12) \cup (0, \infty)$

Paso 6