Matemática discreta Ejemplos

$| x^{2} - 5 | < 4 x$

Paso 1

Escribe $| x^{2} - 5 | < 4 x$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x^{2} - 5 \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \geq 5$

Paso 1.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \geq \sqrt{5}$

Paso 1.2.4

Escribe $| x | \geq \sqrt{5}$ como una función definida por partes.

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Paso 1.2.4.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 1.2.4.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \geq \sqrt{5}$

Paso 1.2.4.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 1.2.4.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{5}$

Paso 1.2.4.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Paso 1.2.5

Obtén la intersección de $x \geq \sqrt{5}$ y $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{5}$

Paso 1.2.6

Divide cada término en $- x \geq \sqrt{5}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Divide cada término de $- x \geq \sqrt{5}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Paso 1.2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Paso 1.2.6.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

Paso 1.2.6.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{5}$ como $- \sqrt{5}$ .

$x \leq - \sqrt{5}$

Paso 1.2.7

Obtén la unión de las soluciones.

$x \leq - \sqrt{5}$ o $x \geq \sqrt{5}$

Paso 1.3

En la parte donde $x^{2} - 5$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x^{2} - 5 < 4 x$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x^{2} - 5 < 0$

Paso 1.5

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.5.1

Suma $5$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} < 5$

Paso 1.5.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{5}$

Paso 1.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | < \sqrt{5}$

Paso 1.5.4

Escribe $| x | < \sqrt{5}$ como una función definida por partes.

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Paso 1.5.4.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 1.5.4.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x < \sqrt{5}$

Paso 1.5.4.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 1.5.4.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x < \sqrt{5}$

Paso 1.5.4.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x < \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x < \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Paso 1.5.5

Obtén la intersección de $x < \sqrt{5}$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x < \sqrt{5}$

Paso 1.5.6

Resuelve $- x < \sqrt{5}$ cuando $x < 0$ .

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Paso 1.5.6.1

Divide cada término en $- x < \sqrt{5}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.5.6.1.1

Divide cada término de $- x < \sqrt{5}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Paso 1.5.6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.6.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Paso 1.5.6.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Paso 1.5.6.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.6.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \sqrt{5}$

Paso 1.5.6.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{5}$ como $- \sqrt{5}$ .

$x > - \sqrt{5}$

Paso 1.5.6.2

Obtén la intersección de $x > - \sqrt{5}$ y $x < 0$ .

$- \sqrt{5} < x < 0$

Paso 1.5.7

Obtén la unión de las soluciones.

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

Paso 1.6

En la parte donde $x^{2} - 5$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- (x^{2} - 5) < 4 x$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - (x^{2} - 5) < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica $- (x^{2} - 5) < 4 x$ .

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} - - 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Paso 1.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} + 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $x^{2} - 5 < 4 x$ cuando $x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5}$ .

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Paso 2.1

Resuelve $x^{2} - 5 < 4 x$ en $x$ .

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Paso 2.1.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} - 5 - 4 x < 0$

Paso 2.1.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 5 - 4 x = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x^{2} - 5 - 4 x$ con el método AC.

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Paso 2.1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 2.1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Paso 2.1.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.1.5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.1.5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.1.6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1.6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.1.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.1.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 1$

Paso 2.1.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Paso 2.1.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.1.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.1.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 2.1.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{2} - 5 < 4 (- 4)$

Paso 2.1.9.1.3

$11$ del lado izquierdo no es menor que $- 16$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.1.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.1.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.1.9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 5 < 4 (0)$

Paso 2.1.9.2.3

$- 5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.1.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.1.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 2.1.9.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{2} - 5 < 4 (8)$

Paso 2.1.9.3.3

$59$ del lado izquierdo no es menor que $32$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.1.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 2.1.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < x < 5$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $- 1 < x < 5$ y $x \leq - \sqrt{5} o r + x \geq \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} \leq x < 5$

Paso 3

Resuelve $- x^{2} + 5 < 4 x$ cuando $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

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Paso 3.1

Resuelve $- x^{2} + 5 < 4 x$ en $x$ .

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Paso 3.1.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} + 5 - 4 x < 0$

Paso 3.1.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} + 5 - 4 x = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} + 5 - 4 x$ .

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve $5$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Paso 3.1.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Paso 3.1.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Paso 3.1.3.1.4

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Paso 3.1.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Paso 3.1.3.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Paso 3.1.3.2

Factoriza.

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Paso 3.1.3.2.1

Factoriza $x^{2} + 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 3.1.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 3.1.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Paso 3.1.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Paso 3.1.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 3.1.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.1.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.1.6

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1.6.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3.1.6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 3.1.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 1) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 5$

Paso 3.1.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Paso 3.1.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.1.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.1.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 3.1.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$- {(- 8)}^{2} + 5 < 4 (- 8)$

Paso 3.1.9.1.3

$- 59$ del lado izquierdo es menor que $- 32$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.1.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.1.9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- {(0)}^{2} + 5 < 4 (0)$

Paso 3.1.9.2.3

$5$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.1.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 3.1.9.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$- {(4)}^{2} + 5 < 4 (4)$

Paso 3.1.9.3.3

$- 11$ del lado izquierdo es menor que $16$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.1.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 3.1.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 5$ o $x > 1$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x < - 5 or x > 1$ y $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

$1 < x < \sqrt{5}$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$1 < x < 5$

Paso 5

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(1, 5)$

Paso 6