Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} + 3 x + 8 > 3 - 3 x$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.1

Suma $3 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} + 3 x + 8 + 3 x > 3$

Paso 1.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 8 > 3$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 6 x + 8 = 3$

Paso 3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 6 x + 8 - 3 = 0$

Paso 4

Resta $3$ de $8$ .

$x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Paso 5

Factoriza $x^{2} + 6 x + 5$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $6$ .

$1, 5$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x + 5) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 7

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 8

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 8.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 5$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$x > - 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

${(- 8)}^{2} + 3 (- 8) + 8 > 3 - 3 \cdot - 8$

Paso 11.1.3

$48$ del lado izquierdo es mayor que $27$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{2} + 3 (- 3) + 8 > 3 - 3 \cdot - 3$

Paso 11.2.3

$8$ del lado izquierdo no es mayor que $12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 3 (0) + 8 > 3 - 3 \cdot 0$

Paso 11.3.3

$8$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 5$ o $x > - 1$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (- 1, \infty)$

Paso 14