Matemática discreta Ejemplos

$x + \frac{12}{x} < 7$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 2

Multiplica cada término en $x + \frac{12}{x} < 7$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $x + \frac{12}{x} < 7$ por $x$ .

$x \cdot x + \frac{12}{x} x < 7 x$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

Paso 2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 12 < 7 x$

Paso 3

Resuelve la desigualdad.

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Paso 3.1

Resta $7 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} + 12 - 7 x < 0$

Paso 3.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 12 - 7 x = 0$

Paso 3.3

Factoriza $x^{2} + 12 - 7 x$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x - 3) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 4, 3$

Paso 4

Obtén el dominio de $x + \frac{12}{x} - 7$ .

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{12}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) + \frac{12}{- 2} < 7$

Paso 6.1.3

$- 8$ del lado izquierdo es menor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$(2) + \frac{12}{2} < 7$

Paso 6.2.3

$8$ del lado izquierdo no es menor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3.5$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $3.5$ en la desigualdad original.

$(3.5) + \frac{12}{3.5} < 7$

Paso 6.3.3

$6.9\overline{285714}$ del lado izquierdo es menor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 6.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$(6) + \frac{12}{6} < 7$

Paso 6.4.3

$8$ del lado izquierdo no es menor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3$ Falso

$3 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3$ Falso

$3 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $3 < x < 4$

Paso 8

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, 0) \cup (3, 4)$

Paso 9