Matemática discreta Ejemplos

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 2.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Paso 2.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Paso 2.1.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 1 + 6$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 1 - 4 - 1 + 6$

Paso 2.1.3.5

Resta $4$ de $- 1$ .

$- 5 - 1 + 6$

Paso 2.1.3.6

Resta $1$ de $- 5$ .

$- 6 + 6$

Paso 2.1.3.7

Suma $- 6$ y $6$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}{x + 1}$

Paso 2.1.5

Divide $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ por $x + 1$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{2} - 5 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x + 6$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

Paso 2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 5 x + 6$

Paso 2.1.6

Escribe $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ como un conjunto de factores.

$(x + 1) (x^{2} - 5 x + 6) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 3) (x - 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 3) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 3, 2$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{3} - 4 {(- 4)}^{2} - 4 + 6 < 0$

Paso 9.1.3

$- 126$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 0 + 6 < 0$

Paso 9.2.3

$6$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.5$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $2.5$ en la desigualdad original.

${(2.5)}^{3} - 4 {(2.5)}^{2} + 2.5 + 6 < 0$

Paso 9.3.3

$- 0.875$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{3} - 4 {(6)}^{2} + 6 + 6 < 0$

Paso 9.4.3

$84$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$ o $2 < x < 3$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 1) \cup (2, 3)$

Paso 12