Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} + 2 x - 60 > 3$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 2 x - 60 = 3$

Paso 2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - 60 - 3 = 0$

Paso 3

Resta $3$ de $- 60$ .

$x^{2} + 2 x - 63 = 0$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 2 x - 63$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 63$ y cuya suma es $2$ .

$- 7, 9$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 7) (x + 9) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 9 = 0$

Paso 6

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 6.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 7

Establece $x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 9$ igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Paso 7.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x + 9) = 0$ verdadera.

$x = 7, - 9$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 9$

$- 9 < x < 7$

$x > 7$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 12$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 12$ en la desigualdad original.

${(- 12)}^{2} + 2 (- 12) - 60 > 3$

Paso 10.1.3

$60$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 9 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 9 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 2 (0) - 60 > 3$

Paso 10.2.3

$- 60$ del lado izquierdo no es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

${(10)}^{2} + 2 (10) - 60 > 3$

Paso 10.3.3

$60$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 9$ Verdadero

$- 9 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

$x < - 9$ Verdadero

$- 9 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 9$ o $x > 7$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 9) \cup (7, \infty)$

Paso 13