Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3} > 0$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla del producto a ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 2)}^{1} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica.

$(x + 2) {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{x - 3}}^{2}$ como $x - 3$ .

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Paso 2.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x + 2) {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$(x + 2) {(x - 3)}^{1} > 0^{2}$

Paso 2.2.1.4.5

Simplifica.

$(x + 2) (x - 3) > 0^{2}$

Paso 2.2.1.5

Expande $(x + 2) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 3) + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Paso 2.2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Paso 2.2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Paso 2.2.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Paso 2.2.1.6.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Paso 2.2.1.6.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 > 0^{2}$

Paso 2.2.1.6.2

Suma $- 3 x$ y $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 > 0^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} - x - 6 > 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 2$

Paso 4

Obtén el dominio de $\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3}$ .

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Paso 4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x + 2}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 2 \geq 0$

Paso 4.2

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 2$

Paso 4.3

Establece el radicando en $\sqrt{x - 3}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - 3 \geq 0$

Paso 4.4

Suma $3$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 3$

Paso 4.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[3, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(- 4) + 2} \sqrt{(- 4) - 3} > 0$

Paso 6.1.3

$3.74165738$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(0) + 2} \sqrt{(0) - 3} > 0$

Paso 6.2.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(6) + 2} \sqrt{(6) - 3} > 0$

Paso 6.3.3

$4.89897948$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $x > 3$

Paso 8

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

Paso 9