Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4 y, 3, 1, 1$

Paso 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2$

Paso 2.5

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.7

El MCM de $4, 3, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Paso 2.8

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Paso 2.8.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3$

Paso 2.8.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$12$

Paso 2.9

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.10

El MCM de $y^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y$

Paso 2.11

El MCM para $4 y, 3, 1, 1$ es la parte numérica $12$ multiplicada por la parte variable.

$12 y$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ por $12 y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ por $12 y$ .

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.2.2

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.3

Combina $3$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.5.2

Factoriza $3$ de $12 y$ .

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.8

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.8.1

Mueve $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.8.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Paso 3.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica $12$ por $2$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

Paso 4

Resuelve la desigualdad.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 4.1.1

Resta $24 y$ de ambos lados de la desigualdad.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

Paso 4.1.2

Resta $24 y$ de $- 4 y$ .

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

Paso 4.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = - 12$ , $b = - 28$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $- 28$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $48$ por $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.5.1.3

Suma $784$ y $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $928$ como $4^{2} \cdot 58$ .

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Paso 4.5.1.4.1

Factoriza $16$ de $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.5.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Paso 4.5.3

Simplifica $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Paso 4.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1.1

Eleva $- 28$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

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Paso 4.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.6.1.2.2

Multiplica $48$ por $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.6.1.3

Suma $784$ y $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.6.1.4

Reescribe $928$ como $4^{2} \cdot 58$ .

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Paso 4.6.1.4.1

Factoriza $16$ de $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.6.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.6.2

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Paso 4.6.3

Simplifica $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Paso 4.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Paso 4.6.5

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

Paso 4.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 4.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1.1

Eleva $- 28$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

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Paso 4.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.7.1.2.2

Multiplica $48$ por $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.7.1.3

Suma $784$ y $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.7.1.4

Reescribe $928$ como $4^{2} \cdot 58$ .

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Paso 4.7.1.4.1

Factoriza $16$ de $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.7.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Paso 4.7.2

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Paso 4.7.3

Simplifica $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Paso 4.7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Paso 4.7.5

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Paso 4.8

Consolida las soluciones.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Paso 5

Obtén el dominio de $\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ .

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{1}{4 y}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 y = 0$

Paso 5.2

Divide cada término en $4 y = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 y = 0$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$y = 0$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = - 5$

Paso 7.1.2

Reemplaza $y$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

Paso 7.1.3

$- 0.38\overline{3}$ del lado izquierdo no es menor que $- 3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = - 1$

Paso 7.2.2

Reemplaza $y$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

Paso 7.2.3

$- 0.58\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 0.05$

Paso 7.3.2

Reemplaza $y$ con $0.05$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

Paso 7.3.3

$4.\overline{6}$ del lado izquierdo no es menor que $2.05$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.4

Prueba un valor en el intervalo $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.4.1

Elije un valor en el intervalo $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 3$

Paso 7.4.2

Reemplaza $y$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

Paso 7.4.3

$- 0.25$ del lado izquierdo es menor que $5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Verdadero

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Falso

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Verdadero

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Verdadero

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Falso

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Verdadero

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ o $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Paso 9

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

Paso 10