Matemática discreta Ejemplos

$25 x^{3} + 75 x^{2} - 36 x - 108 > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$25 x^{3} + 75 x^{2} - 36 x - 108 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(25 x^{3} + 75 x^{2}) - 36 x - 108 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$25 x^{2} (x + 3) - 36 (x + 3) = 0$

Paso 2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 3$ .

$(x + 3) (25 x^{2} - 36) = 0$

Paso 2.3

Reescribe $25 x^{2}$ como ${(5 x)}^{2}$ .

$(x + 3) ({(5 x)}^{2} - 36) = 0$

Paso 2.4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$(x + 3) ({(5 x)}^{2} - 6^{2}) = 0$

Paso 2.5

Factoriza.

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Paso 2.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5 x$ y $b = 6$ .

$(x + 3) ((5 x + 6) (5 x - 6)) = 0$

Paso 2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 3) (5 x + 6) (5 x - 6) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$5 x + 6 = 0$

$5 x - 6 = 0$

Paso 4

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 5

Establece $5 x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $5 x + 6$ igual a $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $5 x + 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 6$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $5 x = - 6$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $5 x = - 6$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{6}{5}$

Paso 6

Establece $5 x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $5 x - 6$ igual a $0$ .

$5 x - 6 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $5 x - 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 6$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $5 x = 6$ por $5$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 6$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{5}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (5 x + 6) (5 x - 6) = 0$ verdadera.

$x = - 3, - \frac{6}{5}, \frac{6}{5}$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$

$x > \frac{6}{5}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$25 {(- 6)}^{3} + 75 {(- 6)}^{2} - 36 \cdot - 6 - 108 > 0$

Paso 9.1.3

$- 2592$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < - \frac{6}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < - \frac{6}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$25 {(- 2)}^{3} + 75 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2 - 108 > 0$

Paso 9.2.3

$64$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$25 {(0)}^{3} + 75 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 - 108 > 0$

Paso 9.3.3

$- 108$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{6}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{6}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$25 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2} - 36 \cdot 4 - 108 > 0$

Paso 9.4.3

$2548$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ Verdadero

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ Falso

$x > \frac{6}{5}$ Verdadero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ Verdadero

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ Falso

$x > \frac{6}{5}$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ o $x > \frac{6}{5}$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 3, - \frac{6}{5}) \cup (\frac{6}{5}, \infty)$

Paso 12