Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x - 5}{x - 3} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 5$

$x = 3$

Paso 5

Consolida las soluciones.

$x = 5, 3$

Paso 6

Obtén el dominio de $\frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{x - 5}{x - 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 3 = 0$

Paso 6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 5}{(0) - 3} < 0$

Paso 8.1.3

$1.\overline{6}$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) - 5}{(4) - 3} < 0$

Paso 8.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{(8) - 5}{(8) - 3} < 0$

Paso 8.3.3

$0.6$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 3$ Falso

$3 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < 3$ Falso

$3 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$3 < x < 5$

Paso 10

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(3, 5)$

Paso 11