Matemática discreta Ejemplos

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 < 20$

Paso 1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 1.1

Resta $20$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 - 20 < 0$

Paso 1.2

Resta $20$ de $0.5$ .

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 < 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = - 5$ , $b = 22$ y $c = - 19.5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 19.5)}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $22$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $20$ por $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.1.3

Resta $390$ de $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $22$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $20$ por $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Paso 6.1.3

Resta $390$ de $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $22$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $20$ por $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Paso 7.1.3

Resta $390$ de $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 5 {(0)}^{2} + 22 (0) + 0.5 < 20$

Paso 10.1.3

$0.5$ del lado izquierdo es menor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$- 5 {(2)}^{2} + 22 (2) + 0.5 < 20$

Paso 10.2.3

$24.5$ del lado izquierdo no es menor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$- 5 {(6)}^{2} + 22 (6) + 0.5 < 20$

Paso 10.3.3

$- 47.5$ del lado izquierdo es menor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ Verdadero

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Falso

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Verdadero

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ Verdadero

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Falso

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ o $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}) \cup (\frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \infty)$

Paso 13