Matemática discreta Ejemplos

$\log (\sqrt[7]{x}) - \log (\log_{7} ({(x)}^{5}))$

Paso 1

Establece el argumento en $\log (\sqrt[7]{x})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[7]{x} \leq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, raise both sides of the inequality to the power of $7$ .

${\sqrt[7]{x}}^{7} \leq 0^{7}$

Paso 2.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x}$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} \leq 0^{7}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} \leq 0^{7}$

Paso 2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} \leq 0^{7}$

Paso 2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} \leq 0^{7}$

Paso 2.2.2.1.2

Simplifica.

$x \leq 0^{7}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x \leq 0$

Paso 3

Establece el argumento en $\log_{7} ({(x)}^{5})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x)}^{5} \leq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} \leq \sqrt[5]{0}$

Paso 4.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x \leq \sqrt[5]{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$x \leq \sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 4.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x \leq 0$

Paso 5

Establece el argumento en $\log (\log_{7} ({(x)}^{5}))$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\log_{7} ({(x)}^{5}) \leq 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Elimina los paréntesis.

$\log_{7} (x^{5}) \leq 0$

Paso 6.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 1$

Paso 6.3

Obtén el dominio de $\log_{7} ({(x)}^{5})$ .

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Paso 6.3.1

Establece el argumento en $\log_{7} ({(x)}^{5})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

${(x)}^{5} > 0$

Paso 6.3.2

Resuelve $x$

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Paso 6.3.2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} > \sqrt[5]{0}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x > \sqrt[5]{0}$

Paso 6.3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.2.1

Simplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Paso 6.3.2.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$x > \sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 6.3.2.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x > 0$

Paso 6.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(0, \infty)$

Paso 6.4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 6.5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\log_{7} ({(- 2)}^{5}) \leq 0$

Paso 6.5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 6.5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 6.5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.5.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.5.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 6.5.2.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\log_{7} ({(0.5)}^{5}) \leq 0$

Paso 6.5.2.3

$- 1.78103593$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 6.5.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\log_{7} ({(4)}^{5}) \leq 0$

Paso 6.5.3.3

$3.56207187$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 6.6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x \leq 1$

Paso 7

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

Paso 8