Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{2 x} - 5 = \sqrt{3 x - 8}$

Paso 1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 x} = \sqrt{3 x - 8} + 5$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x)}^{1} = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$2 x = {(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(\sqrt{3 x - 8} + 5)}^{2}$ como $(\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$ .

$2 x = (\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(\sqrt{3 x - 8} + 5) (\sqrt{3 x - 8} + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} (\sqrt{3 x - 8} + 5) + 5 (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 (\sqrt{3 x - 8} + 5)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x = \sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $\sqrt{3 x - 8} \sqrt{3 x - 8}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{3 x - 8}$ a la potencia de $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1} \sqrt{3 x - 8} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{3 x - 8}$ a la potencia de $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1} {\sqrt{3 x - 8}}^{1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{1 + 1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x = {\sqrt{3 x - 8}}^{2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3 x - 8}}^{2}$ como $3 x - 8$ .

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x - 8}$ como ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x = {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$2 x = {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$2 x = {(3 x - 8)}^{1} + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.2.5

Simplifica.

$2 x = 3 x - 8 + \sqrt{3 x - 8} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{3 x - 8}$ .

$2 x = 3 x - 8 + 5 \cdot \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$2 x = 3 x - 8 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8} + 25$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $- 8$ y $25$ .

$2 x = 3 x + 17 + 5 \sqrt{3 x - 8} + 5 \sqrt{3 x - 8}$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $5 \sqrt{3 x - 8}$ y $5 \sqrt{3 x - 8}$ .

$2 x = 3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8}$

Paso 4

Resuelve $10 \sqrt{3 x - 8}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x$ .

$3 x + 17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $10 \sqrt{3 x - 8}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$17 + 10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x - 3 x$

Paso 4.2.2

Resta $17$ de ambos lados de la ecuación.

$10 \sqrt{3 x - 8} = 2 x - 3 x - 17$

Paso 4.2.3

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$10 \sqrt{3 x - 8} = - x - 17$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(10 \sqrt{3 x - 8})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x - 8}$ como ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $10 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10^{2} {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$100 {({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$100 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$100 {(3 x - 8)}^{1} = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$100 (3 x - 8) = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$100 (3 x) + 100 \cdot - 8 = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.2.1.6.1

Multiplica $3$ por $100$ .

$300 x + 100 \cdot - 8 = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Multiplica $100$ por $- 8$ .

$300 x - 800 = {(- x - 17)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(- x - 17)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Reescribe ${(- x - 17)}^{2}$ como $(- x - 17) (- x - 17)$ .

$300 x - 800 = (- x - 17) (- x - 17)$

Paso 6.3.1.2

Expande $(- x - 17) (- x - 17)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$300 x - 800 = - x (- x - 17) - 17 (- x - 17)$

Paso 6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$300 x - 800 = - x (- x) - x \cdot - 17 - 17 (- x - 17)$

Paso 6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$300 x - 800 = - x (- x) - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Paso 6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Paso 6.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Paso 6.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$300 x - 800 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Paso 6.3.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$300 x - 800 = 1 x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Paso 6.3.1.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$300 x - 800 = x^{2} - x \cdot - 17 - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Paso 6.3.1.3.1.5

Multiplica $- 17$ por $- 1$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x - 17 (- x) - 17 \cdot - 17$

Paso 6.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 17$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x + 17 x - 17 \cdot - 17$

Paso 6.3.1.3.1.7

Multiplica $- 17$ por $- 17$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 17 x + 17 x + 289$

Paso 6.3.1.3.2

Suma $17 x$ y $17 x$ .

$300 x - 800 = x^{2} + 34 x + 289$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 34 x + 289 = 300 x - 800$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Resta $300 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 34 x + 289 - 300 x = - 800$

Paso 7.2.2

Resta $300 x$ de $34 x$ .

$x^{2} - 266 x + 289 = - 800$

Paso 7.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 7.3.1

Suma $800$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 266 x + 289 + 800 = 0$

Paso 7.3.2

Suma $289$ y $800$ .

$x^{2} - 266 x + 1089 = 0$

Paso 7.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 266$ y $c = 1089$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{266 \pm \sqrt{{(- 266)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1089)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.1.1

Eleva $- 266$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4 \cdot 1 \cdot 1089}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1089$ .

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Paso 7.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4 \cdot 1089}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1089$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{70756 - 4356}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.1.3

Resta $4356$ de $70756$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{66400}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.1.4

Reescribe $66400$ como $20^{2} \cdot 166$ .

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Paso 7.6.1.4.1

Factoriza $400$ de $66400$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{400 (166)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.1.4.2

Reescribe $400$ como $20^{2}$ .

$x = \frac{266 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 166}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2}$

Paso 7.6.3

Simplifica $\frac{266 \pm 20 \sqrt{166}}{2}$ .

$x = 133 \pm 10 \sqrt{166}$

Paso 7.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 133 + 10 \sqrt{166}, 133 - 10 \sqrt{166}$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{2 x} - 5 = \sqrt{3 x - 8}$ sea verdadera.

$No hay solución$