Matemática discreta Ejemplos

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Simplifica $\frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe $\frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ como $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Paso 2.1.1.2

Simplifica $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ al mover $\frac{2}{3}$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (27^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Paso 2.1.1.3

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} ({(3^{3})}^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Paso 2.1.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Paso 2.1.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Paso 2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{2}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Paso 2.1.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Paso 2.1.1.7

Simplifica $2 \log_{b} (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (2^{2}) - \log_{b} (3)$

Paso 2.1.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (4) - \log_{b} (3)$

Paso 2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9 \cdot 4) - \log_{b} (3)$

Paso 2.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{9 \cdot 4}{3})$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $3$ de $9 \cdot 4$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3})$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 (1)})$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 \cdot 1})$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 \cdot 4}{1})$

Paso 2.1.4.2.4

Divide $3 \cdot 4$ por $1$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)$

Paso 2.1.5

Multiplica $3$ por $4$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (12)$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x = 12$