Matemática discreta Ejemplos

$\log_{b} (x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (4) + \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) - \log_{b} (6)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{b} (4)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2}{3} \log_{b} (27) - \log_{b} (6)$

Paso 1.1.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} - \log_{b} (6)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} - \log_{b} (6)$ por $6$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} - \log_{b} (6)$ por $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot 6 + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $6$ a la izquierda de $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot 6 + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot (2 (3)) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$6 \log_{b} (x) = \log_{b} (4) \cdot 3 + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\log_{b} (4)$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \cdot \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 (2)) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.3.2

Cancela el factor común.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 \cdot 2) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.3.3

Reescribe la expresión.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 2 \log_{b} (27) \cdot 2 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $6 \log_{b} (x)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Simplifica $3 \log_{b} (4)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4^{3}) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 4.1.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 4.1.1.3

Simplifica $4 \log_{b} (27)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (27^{4}) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 4.1.1.4

Eleva $27$ a la potencia de $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (531441) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 4.1.1.5

Simplifica $- 6 \log_{b} (6)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (531441) - \log_{b} (6^{6})$

Paso 4.1.1.6

Eleva $6$ a la potencia de $6$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (531441) - \log_{b} (46656)$

Paso 4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64 \cdot 531441) - \log_{b} (46656)$

Paso 4.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 531441}{46656})$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $64$ y $46656$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $64$ de $64 \cdot 531441$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (531441)}{46656})$

Paso 4.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $64$ de $46656$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 531441}{64 \cdot 729})$

Paso 4.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 531441}{64 \cdot 729})$

Paso 4.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{531441}{729})$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de $531441$ y $729$ .

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $729$ de $531441$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729 \cdot 729}{729})$

Paso 4.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.5.2.1

Factoriza $729$ de $729$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729 \cdot 729}{729 (1)})$

Paso 4.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729 \cdot 729}{729 \cdot 1})$

Paso 4.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729}{1})$

Paso 4.1.5.2.4

Divide $729$ por $1$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (729)$

Paso 5

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{6} = 729$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{729}$

Paso 6.2

Simplifica $\pm \sqrt[6]{729}$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $729$ como $3^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{3^{6}}$

Paso 6.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 6.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 6.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$