Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}}^{4} = x^{4}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}$ como ${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(12 x^{2} - 35)}^{1} = x^{4}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$12 x^{2} - 35 = x^{4}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} - 35 - x^{4} = 0$

Paso 3.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$- u^{2} + 12 u - 35 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} + 12 u - 35$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 12 u - 35 = 0$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $12 u$ .

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 35 = 0$

Paso 3.3.1.3

Reescribe $- 35$ como $- 1 (35)$ .

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2}) - (- 12 u)$ .

$- (u^{2} - 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} - 12 u) - 1 (35)$ .

$- (u^{2} - 12 u + 35) = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza.

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $u^{2} - 12 u + 35$ con el método AC.

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Paso 3.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $35$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 7, - 5$

Paso 3.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((u - 7) (u - 5)) = 0$

Paso 3.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (u - 7) (u - 5) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

Paso 3.5

Establece $u - 7$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $u - 7$ igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 7$

Paso 3.6

Establece $u - 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.6.1

Establece $u - 5$ igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 5$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (u - 7) (u - 5) = 0$ verdadera.

$u = 7, 5$

Paso 3.8

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 7$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Paso 3.9

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 7$

Paso 3.10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Paso 3.10.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.10.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{7}$

Paso 3.10.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{7}$

Paso 3.10.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Paso 3.11

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 5$

Paso 3.12

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.12.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 5$

Paso 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Paso 3.12.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.12.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{5}$

Paso 3.12.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{5}$

Paso 3.12.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 3.13

La solución a $- x^{4} + 12 x^{2} - 35 = 0$ es $x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$ sea verdadera.

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 2.64575131 \dots, 2.23606797 \dots$