Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$

Paso 1

Resuelve $\sqrt{x - 4}$

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Paso 1.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, \sqrt{x - 4}, 1$

Paso 1.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$\sqrt{x - 4}$

Paso 1.2

Multiplica cada término en $\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ por $\sqrt{x - 4}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.1

Multiplica cada término en $\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ por $\sqrt{x - 4}$ .

$\sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica $\sqrt{x - 4}$ por $\sqrt{x - 4}$ .

${\sqrt{x - 4}}^{2} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Paso 1.2.2.1.2

Cancela el factor común de $\sqrt{x - 4}$ .

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Paso 1.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{\sqrt{x - 4}}$ al numerador.

${\sqrt{x - 4}}^{2} + \frac{- 2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Paso 1.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

${\sqrt{x - 4}}^{2} + \frac{- 2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Paso 1.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 = 1 \sqrt{x - 4}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $\sqrt{x - 4}$ por $1$ .

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 = \sqrt{x - 4}$

Paso 1.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.3.1

Resta $\sqrt{x - 4}$ de ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 - \sqrt{x - 4} = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza ${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 - \sqrt{x - 4}$ con el método AC.

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Paso 1.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(\sqrt{x - 4} - 2) (\sqrt{x - 4} + 1) = 0$

Paso 1.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sqrt{x - 4} - 2 = 0$

$\sqrt{x - 4} + 1 = 0$

Paso 1.3.4

Establece $\sqrt{x - 4} - 2$ igual a $0$ y resuelve $\sqrt{x - 4}$ .

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Paso 1.3.4.1

Establece $\sqrt{x - 4} - 2$ igual a $0$ .

$\sqrt{x - 4} - 2 = 0$

Paso 1.3.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x - 4} = 2$

Paso 1.3.5

Establece $\sqrt{x - 4} + 1$ igual a $0$ y resuelve $\sqrt{x - 4}$ .

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Paso 1.3.5.1

Establece $\sqrt{x - 4} + 1$ igual a $0$ .

$\sqrt{x - 4} + 1 = 0$

Paso 1.3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x - 4} = - 1$

Paso 1.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sqrt{x - 4} - 2) (\sqrt{x - 4} + 1) = 0$ verdadera.

$\sqrt{x - 4} = 2, - 1$

Paso 2

Resuelve $x$ en $\sqrt{x - 4} = 2$ .

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Paso 2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x - 4}}^{2} = 2^{2}$

Paso 2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Paso 2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Paso 2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 4)}^{1} = 2^{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Simplifica.

$x - 4 = 2^{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x - 4 = 4$

Paso 2.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4 + 4$

Paso 2.3.2

Suma $4$ y $4$ .

$x = 8$

Paso 3

Resuelve $x$ en $\sqrt{x - 4} = - 1$ .

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Paso 3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x - 4}}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 4)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica.

$x - 4 = {(- 1)}^{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x - 4 = 1$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1 + 4$

Paso 3.3.2

Suma $1$ y $4$ .

$x = 5$

Paso 4

Enumera todas las soluciones.

$x = 8, 5$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ sea verdadera.

$x = 8$