Matemática discreta Ejemplos

$\log_{3} (x + 18) - \log_{3} (x - 8) = 3$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 18}{x - 8}) = 3$

Paso 2

Reescribe $\log_{3} (\frac{x + 18}{x - 8}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{3} = \frac{x + 18}{x - 8}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x + 18 = 3^{3} (x - 8)$

Paso 4

Simplifica $3^{3} (x - 8)$ .

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Paso 4.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x + 18 = 27 (x - 8)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 18 = 27 x + 27 \cdot - 8$

Paso 4.3

Multiplica $27$ por $- 8$ .

$x + 18 = 27 x - 216$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $27 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 18 - 27 x = - 216$

Paso 5.2

Resta $27 x$ de $x$ .

$- 26 x + 18 = - 216$

Paso 6

Factoriza $2$ de $- 26 x + 18$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $- 26 x$ .

$2 (- 13 x) + 18 = - 216$

Paso 6.2

Factoriza $2$ de $18$ .

$2 (- 13 x) + 2 (9) = - 216$

Paso 6.3

Factoriza $2$ de $2 (- 13 x) + 2 (9)$ .

$2 (- 13 x + 9) = - 216$

Paso 7

Divide cada término en $2 (- 13 x + 9) = - 216$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 (- 13 x + 9) = - 216$ por $2$ .

$\frac{2 (- 13 x + 9)}{2} = \frac{- 216}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 13 x + 9)}{2} = \frac{- 216}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $- 13 x + 9$ por $1$ .

$- 13 x + 9 = \frac{- 216}{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $- 216$ por $2$ .

$- 13 x + 9 = - 108$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- 13 x = - 108 - 9$

Paso 8.2

Resta $9$ de $- 108$ .

$- 13 x = - 117$

Paso 9

Divide cada término en $- 13 x = - 117$ por $- 13$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- 13 x = - 117$ por $- 13$ .

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{- 117}{- 13}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $- 13$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{- 117}{- 13}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 117}{- 13}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Divide $- 117$ por $- 13$ .

$x = 9$