Matemática discreta Ejemplos

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 \log_{3} (3) + \log_{3} (3 x - 2)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

El logaritmo en base $3$ de $3$ es $1$ .

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 \cdot 1 + \log_{3} (3 x - 2)$

Paso 1.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 + \log_{3} (3 x - 2)$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{3} (2 x - 3) - \log_{3} (3 x - 2) = 2$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2$

Paso 4

Reescribe $\log_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{2} = \frac{2 x - 3}{3 x - 2}$

Paso 5

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$2 x - 3 = 3^{2} (3 x - 2)$

Paso 6

Simplifica $3^{2} (3 x - 2)$ .

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Paso 6.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 x - 3 = 9 (3 x - 2)$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 3 = 9 (3 x) + 9 \cdot - 2$

Paso 6.3

Multiplica.

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Paso 6.3.1

Multiplica $3$ por $9$ .

$2 x - 3 = 27 x + 9 \cdot - 2$

Paso 6.3.2

Multiplica $9$ por $- 2$ .

$2 x - 3 = 27 x - 18$

Paso 7

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $27 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - 3 - 27 x = - 18$

Paso 7.2

Resta $27 x$ de $2 x$ .

$- 25 x - 3 = - 18$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$- 25 x = - 18 + 3$

Paso 8.2

Suma $- 18$ y $3$ .

$- 25 x = - 15$

Paso 9

Divide cada término en $- 25 x = - 15$ por $- 25$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- 25 x = - 15$ por $- 25$ .

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 15}{- 25}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $- 25$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 15}{- 25}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 25}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $- 15$ y $- 25$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 15$ .

$x = \frac{- 5 (3)}{- 25}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Factoriza $- 5$ de $- 25$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 5}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 5}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{5}$

Paso 10

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{3} (2 x - 3) = 2 \log_{3} (3) + \log_{3} (3 x - 2)$ sea verdadera.

$No hay solución$