Matemática discreta Ejemplos

{log}_{3} (2 x - 3) = 2 {log}_{3} (3) + {log}_{3} (3 x - 2)

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 \log_{3} (3) + \log_{3} (3 x - 2)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

El logaritmo en base

3

$3$ de

3

$3$ es

1

$1$ .

{log}_{3} (2 x - 3) = 2 \cdot 1 + {log}_{3} (3 x - 2)

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 \cdot 1 + \log_{3} (3 x - 2)$

Paso 1.1.2

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

{log}_{3} (2 x - 3) = 2 + {log}_{3} (3 x - 2)

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 + \log_{3} (3 x - 2)$

{log}_{3} (2 x - 3) = 2 + {log}_{3} (3 x - 2)

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 + \log_{3} (3 x - 2)$

{log}_{3} (2 x - 3) = 2 + {log}_{3} (3 x - 2)

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 + \log_{3} (3 x - 2)$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

{log}_{3} (2 x - 3) - {log}_{3} (3 x - 2) = 2

$\log_{3} (2 x - 3) - \log_{3} (3 x - 2) = 2$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

{log}_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2

$\log_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2$

Paso 4

Reescribe

{log}_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2

$\log_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si

x

$x$ y

b

$b$ son números reales positivos y

b

$b$

\neq

$\neq$

1

$1$ , entonces

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ es equivalente a

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

3^{2} = \frac{2 x - 3}{3 x - 2}

$3^{2} = \frac{2 x - 3}{3 x - 2}$

Paso 5

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

2 x - 3 = 3^{2} (3 x - 2)

$2 x - 3 = 3^{2} (3 x - 2)$

Paso 6

Simplifica

3^{2} (3 x - 2)

$3^{2} (3 x - 2)$ .

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Paso 6.1

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

2 x - 3 = 9 (3 x - 2)

$2 x - 3 = 9 (3 x - 2)$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

2 x - 3 = 9 (3 x) + 9 \cdot - 2

$2 x - 3 = 9 (3 x) + 9 \cdot - 2$

Paso 6.3

Multiplica.

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Paso 6.3.1

Multiplica

3

$3$ por

9

$9$ .

2 x - 3 = 27 x + 9 \cdot - 2

$2 x - 3 = 27 x + 9 \cdot - 2$

Paso 6.3.2

Multiplica

9

$9$ por

- 2

$- 2$ .

2 x - 3 = 27 x - 18

$2 x - 3 = 27 x - 18$

2 x - 3 = 27 x - 18

$2 x - 3 = 27 x - 18$

2 x - 3 = 27 x - 18

$2 x - 3 = 27 x - 18$

Paso 7

Mueve todos los términos que contengan

x

$x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta

27 x

$27 x$ de ambos lados de la ecuación.

2 x - 3 - 27 x = - 18

$2 x - 3 - 27 x = - 18$

Paso 7.2

Resta

27 x

$27 x$ de

2 x

$2 x$ .

- 25 x - 3 = - 18

$- 25 x - 3 = - 18$

- 25 x - 3 = - 18

$- 25 x - 3 = - 18$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan

x

$x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Suma

3

$3$ a ambos lados de la ecuación.

- 25 x = - 18 + 3

$- 25 x = - 18 + 3$

Paso 8.2

Suma

- 18

$- 18$ y

3

$3$ .

- 25 x = - 15

$- 25 x = - 15$

- 25 x = - 15

$- 25 x = - 15$

Paso 9

Divide cada término en

- 25 x = - 15

$- 25 x = - 15$ por

- 25

$- 25$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en

- 25 x = - 15

$- 25 x = - 15$ por

- 25

$- 25$ .

\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 15}{- 25}

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 15}{- 25}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de

- 25

$- 25$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 15}{- 25}$

Paso 9.2.1.2

Divide

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{- 15}{- 25}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de

$- 15$ y

$- 25$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza

$- 5$ de

$- 15$ .

$x = \frac{- 5 (3)}{- 25}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Factoriza

$- 5$ de

$- 25$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 5}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 5}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{5}$

Paso 10

Excluye las soluciones que no hagan que

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 \log_{3} (3) + \log_{3} (3 x - 2)$ sea verdadera.

$No hay solución$