Matemática discreta Ejemplos

$\log_{2} (4 x - 8) = 3 + \log_{2} (2 x)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{2} (4 x - 8) - \log_{2} (2 x) = 3$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{4 x - 8}{2 x}) = 3$

Paso 3

Cancela el factor común de $4 x - 8$ y $2$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\log_{2} (\frac{2 (2 x) - 8}{2 x}) = 3$

Paso 3.2

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\log_{2} (\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 4}{2 x}) = 3$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (- 4)$ .

$\log_{2} (\frac{2 (2 x - 4)}{2 x}) = 3$

Paso 3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{2 (2 x - 4)}{2 (x)}) = 3$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{2 (2 x - 4)}{2 x}) = 3$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{2 x - 4}{x}) = 3$

Paso 4

Factoriza $2$ de $2 x - 4$ .

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x) - 4}{x}) = 3$

Paso 4.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\log_{2} (\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x}) = 3$

Paso 4.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x - 2)}{x}) = 3$

Paso 5

Reescribe $\log_{2} (\frac{2 (x - 2)}{x}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{2 (x - 2)}{x}$

Paso 6

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$2 (x - 2) = 2^{3} (x)$

Paso 7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 (x - 2) = 8 x$

Paso 8

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 (x - 2) - 8 x = 0$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 2 \cdot - 2 - 8 x = 0$

Paso 8.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 x - 4 - 8 x = 0$

Paso 8.3

Resta $8 x$ de $2 x$ .

$- 6 x - 4 = 0$

Paso 9

Factoriza $2$ de $- 6 x - 4$ .

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Paso 9.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$2 (- 3 x) - 4 = 0$

Paso 9.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$2 (- 3 x) + 2 (- 2) = 0$

Paso 9.3

Factoriza $2$ de $2 (- 3 x) + 2 (- 2)$ .

$2 (- 3 x - 2) = 0$

Paso 10

Divide cada término en $2 (- 3 x - 2) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $2 (- 3 x - 2) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (- 3 x - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 x - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 10.2.1.2

Divide $- 3 x - 2$ por $1$ .

$- 3 x - 2 = \frac{0}{2}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$- 3 x - 2 = 0$

Paso 11

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x = 2$

Paso 12

Divide cada término en $- 3 x = 2$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 12.1

Divide cada término en $- 3 x = 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Paso 12.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 12.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Paso 12.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{- 3}$

Paso 12.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 13

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (4 x - 8) = 3 + \log_{2} (2 x)$ sea verdadera.

$No hay solución$