Matemática discreta Ejemplos

$\log_{2} (3 x + 1) - \log_{2} (x + 2) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x})$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) - \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x}) = - 2$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{3 x + 1}{x + 2}}{\frac{9 x - 4}{x}}) = - 2$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x}{9 x - 4}) = - 2$

Paso 6

Multiplica $\frac{3 x + 1}{x + 2}$ por $\frac{x}{9 x - 4}$ .

$\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Paso 7

Reordena los factores en $\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)})$ .

$\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Paso 8

Reescribe $\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{- 2} = \frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}$

Paso 9

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x (3 x + 1) = 2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$

Paso 10

Simplifica $2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$ .

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Paso 10.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{2^{2}} ((x + 2) (9 x - 4))$

Paso 10.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} ((x + 2) (9 x - 4))$

Paso 10.3

Expande $(x + 2) (9 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x - 4) + 2 (9 x - 4))$

Paso 10.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x - 4))$

Paso 10.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Paso 10.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Paso 10.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 10.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Paso 10.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Paso 10.4.1.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 \cdot x + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Paso 10.4.1.4

Multiplica $9$ por $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x + 2 \cdot - 4)$

Paso 10.4.1.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x - 8)$

Paso 10.4.2

Suma $- 4 x$ y $18 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + 14 x - 8)$

Paso 10.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2}) + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Paso 10.6

Simplifica.

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Paso 10.6.1

Multiplica $\frac{1}{4} (9 x^{2})$ .

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Paso 10.6.1.1

Combina $9$ y $\frac{1}{4}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Paso 10.6.1.2

Combina $\frac{9}{4}$ y $x^{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Paso 10.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Paso 10.6.2.2

Factoriza $2$ de $14 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Paso 10.6.2.3

Cancela el factor común.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Paso 10.6.2.4

Reescribe la expresión.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (7 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Paso 10.6.3

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Paso 10.6.4

Combina $\frac{7}{2}$ y $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Paso 10.6.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.6.5.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Paso 10.6.5.2

Cancela el factor común.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Paso 10.6.5.3

Reescribe la expresión.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} - 2$

Paso 11

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.1

Resta $\frac{9 x^{2}}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} = \frac{7 x}{2} - 2$

Paso 11.2

Resta $\frac{7 x}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.3

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 x) + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 x \cdot x + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.3.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.4.1

Mueve $x$ .

$3 (x \cdot x) + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.3.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.4

Para escribir $3 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x + 3 x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.5

Combina $3 x^{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.7

Obtén el denominador común

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Paso 11.7.1

Escribe $x$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{x}{1} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.7.2

Multiplica $\frac{x}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.7.3

Multiplica $\frac{x}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Paso 11.7.4

Multiplica $\frac{7 x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - (\frac{7 x}{2} \cdot \frac{2}{2}) = - 2$

Paso 11.7.5

Multiplica $\frac{7 x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{2 \cdot 2} = - 2$

Paso 11.7.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Paso 11.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x \cdot 4 + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Paso 11.9

Simplifica cada término.

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Paso 11.9.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 \cdot x + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Paso 11.9.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Paso 11.9.3

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 14 x}{4} = - 2$

Paso 11.10

Resta $14 x$ de $4 x$ .

$\frac{12 x^{2} - 9 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Paso 11.11

Resta $9 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Paso 11.12

Factoriza $x$ de $3 x^{2} - 10 x$ .

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Paso 11.12.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 10 x}{4} = - 2$

Paso 11.12.2

Factoriza $x$ de $- 10 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 10}{4} = - 2$

Paso 11.12.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} = - 2$

Paso 12

Multiplica ambos lados por $4$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.1.1

Simplifica $\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4$ .

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Paso 13.1.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 13.1.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 13.1.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Paso 13.1.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x (3 x - 10) = - 2 \cdot 4$

Paso 13.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 x) + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Paso 13.1.1.1.3

Reordena.

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Paso 13.1.1.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x \cdot x + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Paso 13.1.1.1.3.2

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$3 x \cdot x - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Paso 13.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.2.1

Mueve $x$ .

$3 (x \cdot x) - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Paso 13.1.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

$3 x^{2} - 10 x = - 2 \cdot 4$

Paso 13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$3 x^{2} - 10 x = - 8$

Paso 14

Resuelve $x$

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Paso 14.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Paso 14.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 14.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ y cuya suma es $b = - 10$ .

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Paso 14.2.1.1

Factoriza $- 10$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Paso 14.2.1.2

Reescribe $- 10$ como $- 4$ más $- 6$

$3 x^{2} + (- 4 - 6) x + 8 = 0$

Paso 14.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 4 x - 6 x + 8 = 0$

Paso 14.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 14.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 4 x) - 6 x + 8 = 0$

Paso 14.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 4) - 2 (3 x - 4) = 0$

Paso 14.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x - 2) = 0$

Paso 14.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 14.4

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.4.1

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Paso 14.4.2

Resuelve $3 x - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 14.4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 14.4.2.2

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 14.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 14.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 14.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 14.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 14.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 14.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 4) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{4}{3}, 2$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{4}{3}, 2$

Forma decimal:

$x = 1.\overline{3}, 2$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{1}{3}, 2$