Matemática discreta Ejemplos

$e^{2 x + 10} = 5^{\frac{3 x}{11}}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 x + 10}) = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln (e^{2 x + 10})$ ; para ello, mueve $2 x + 10$ fuera del logaritmo.

$(2 x + 10) \ln (e) = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Paso 2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(2 x + 10) \cdot 1 = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Paso 2.3

Multiplica $2 x + 10$ por $1$ .

$2 x + 10 = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Expande $\ln (5^{\frac{3 x}{11}})$ ; para ello, mueve $\frac{3 x}{11}$ fuera del logaritmo.

$2 x + 10 = \frac{3 x}{11} \ln (5)$

Paso 3.2

Combina $\frac{3 x}{11}$ y $\ln (5)$ .

$2 x + 10 = \frac{3 x \ln (5)}{11}$

Paso 4

Multiplica ambos lados por $11$ .

$(2 x + 10) \cdot 11 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $(2 x + 10) \cdot 11$ .

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Paso 5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot 11 + 10 \cdot 11 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Paso 5.1.1.2

Multiplica.

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Paso 5.1.1.2.1

Multiplica $11$ por $2$ .

$22 x + 10 \cdot 11 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Paso 5.1.1.2.2

Multiplica $10$ por $11$ .

$22 x + 110 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $3 \ln (5)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$22 x + 110 = \frac{x \ln (5^{3})}{11} \cdot 11$

Paso 5.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$22 x + 110 = \frac{x \ln (125)}{11} \cdot 11$

Paso 5.2.1.3

Cancela el factor común.

$22 x + 110 = \frac{x \ln (125)}{11} \cdot 11$

Paso 5.2.1.4

Reescribe la expresión.

$22 x + 110 = x \ln (125)$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Resta $x \ln (125)$ de ambos lados de la ecuación.

$22 x + 110 - x \ln (125) = 0$

Paso 6.2

Resta $110$ de ambos lados de la ecuación.

$22 x - x \ln (125) = - 110$

Paso 6.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Factoriza $x$ de $22 x - x \ln (125)$ .

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Paso 6.3.1.1

Factoriza $x$ de $22 x$ .

$x \cdot 22 - x \ln (125) = - 110$

Paso 6.3.1.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (125)$ .

$x \cdot 22 + x (- 1 \ln (125)) = - 110$

Paso 6.3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 22 + x (- 1 \ln (125))$ .

$x (22 - 1 \ln (125)) = - 110$

Paso 6.3.2

Reescribe $- 1 \ln (125)$ como $- \ln (125)$ .

$x (22 - \ln (125)) = - 110$

Paso 6.4

Divide cada término en $x (22 - \ln (125)) = - 110$ por $22 - \ln (125)$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $x (22 - \ln (125)) = - 110$ por $22 - \ln (125)$ .

$\frac{x (22 - \ln (125))}{22 - \ln (125)} = \frac{- 110}{22 - \ln (125)}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $22 - \ln (125)$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (22 - \ln (125))}{22 - \ln (125)} = \frac{- 110}{22 - \ln (125)}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 110}{22 - \ln (125)}$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{110}{22 - \ln (125)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{110}{22 - \ln (125)}$

Forma decimal:

$x = - 6.40589388 \dots$