Matemática discreta Ejemplos

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = 5$

Paso 1

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = 5$

Paso 2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$7 u^{2} - 14 u + 2 - 5 = 0$

Paso 2.2

Resta $5$ de $2$ .

$7 u^{2} - 14 u - 3 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 7$ , $b = - 14$ y $c = - 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot - 3)}}{2 \cdot 7}$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Eleva $- 14$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 7 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 7 \cdot - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 28 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 28$ por $- 3$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 84}}{2 \cdot 7}$

Paso 5.1.3

Suma $196$ y $84$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{280}}{2 \cdot 7}$

Paso 5.1.4

Reescribe $280$ como $2^{2} \cdot 70$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1

Factoriza $4$ de $280$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{4 (70)}}{2 \cdot 7}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 70}}{2 \cdot 7}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{2 \cdot 7}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{70}}{7}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Paso 7

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Paso 8

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Paso 9

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 10

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Evalúa $\arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$ .

$x = - 0.19649053$

Paso 10.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

Paso 10.4

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 0.19649053$

Paso 10.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

Paso 10.4.3

Suma $3.14159265$ y $0.19649053$ .

$x = 3.33808319$

Paso 10.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 10.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.6.1

Suma $2 π$ y $- 0.19649053$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.19649053 + 2 π$

Paso 10.6.2

Resta $0.19649053$ de $2 π$ .

$6.08669476$

Paso 10.6.3

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 6.08669476$

Paso 10.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Enumera todas las soluciones.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$