Matemática discreta Ejemplos

$7^{x} + 7^{- x} = 50$

Paso 1

Reescribe $7^{- x}$ como exponenciación.

$7^{x} + {(7^{x})}^{- 1} = 50$

Paso 2

Sustituye $u$ por $7^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 50$

Paso 3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 50$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $u + \frac{1}{u} = 50$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $u + \frac{1}{u} = 50$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 50 u$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Paso 4.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} + 1 = 50 u$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $50 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 1 - 50 u = 0$

Paso 4.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 50$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4

Simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.4.1.1

Eleva $- 50$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.1.3

Resta $4$ de $2500$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2496}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.1.4

Reescribe $2496$ como $8^{2} \cdot 39$ .

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Paso 4.3.4.1.4.1

Factoriza $64$ de $2496$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{64 (39)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.1.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$

Paso 4.3.4.3

Simplifica $\frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$ .

$u = 25 \pm 4 \sqrt{39}$

Paso 4.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 25 + 4 \sqrt{39}, 25 - 4 \sqrt{39}$

Paso 5

Sustituye $25 + 4 \sqrt{39}$ por $u$ en $u = 7^{x}$ .

$25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Paso 6

Resuelve $25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$

Paso 6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Paso 6.3

Expande $\ln (7^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Paso 6.4

Divide cada término en $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ por $\ln (7)$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ por $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (7)$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Paso 7

Sustituye $25 - 4 \sqrt{39}$ por $u$ en $u = 7^{x}$ .

$25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Paso 8

Resuelve $25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Paso 8.3

Expande $\ln (7^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Paso 8.4

Divide cada término en $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ por $\ln (7)$ y simplifica.

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Paso 8.4.1

Divide cada término en $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ por $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (7)$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Paso 8.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Paso 9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Forma decimal:

$x = 2.01017645 \dots, - 2.01017645 \dots$