Matemática discreta Ejemplos

$| x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} | = 7$

Paso 1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = \pm 7$

Paso 2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Paso 2.2

Simplifica $x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Paso 2.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Paso 2.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Paso 2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Paso 2.3

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

Paso 2.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 7 \cdot 2$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 14$

Paso 2.5

Resuelve $x$

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Paso 2.5.1

Resta $14$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14 = 0$

Paso 2.5.2

Simplifica $2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14$ .

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.5.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

Paso 2.5.2.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

Paso 2.5.2.3

Resta $14$ de $- 1$ .

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Paso 2.5.3

Factoriza $x^{2} + 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.5.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 2.5.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Paso 2.5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 2.5.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.5.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.5.6

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.6.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 2.5.6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 2.5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 5$

Paso 2.6

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Paso 2.7

Simplifica $x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ .

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Paso 2.7.1

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Paso 2.7.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.7.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Paso 2.7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Paso 2.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Paso 2.8

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.9.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

Paso 2.9.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 7 \cdot 2$

Paso 2.9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.9.2.1

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 14$

Paso 2.10

Resuelve $x$

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Paso 2.10.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 2.10.1.1

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2

Simplifica $2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14$ .

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Paso 2.10.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.1.2.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.10.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.10.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.10.1.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

Paso 2.10.1.2.3

Suma $- 1$ y $14$ .

$x^{2} + 2 x + 13 = 0$

Paso 2.10.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.10.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 13$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4

Simplifica.

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Paso 2.10.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Paso 2.10.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $13$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 52}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.1.3

Resta $52$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.10.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.10.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.10.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.10.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 2.11

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 5, - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$