Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x} = 81^{x^{2} - 2}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Paso 2

Reescribe $\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x})$ como $\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x})$ .

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{1}{27^{2 x}})$ como $\ln (1) - \ln (27^{2 x})$ .

$\ln (1) - \ln (27^{2 x}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Paso 4

Expande $\ln (27^{2 x})$ ; para ello, mueve $2 x$ fuera del logaritmo.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Paso 5

Expande $\ln (3^{- 2 x})$ ; para ello, mueve $- 2 x$ fuera del logaritmo.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Paso 6

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$0 - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Paso 7

Resta $2 x \ln (27)$ de $0$ .

$- (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Paso 8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Paso 9

Elimina los paréntesis.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Paso 10

Expande $\ln (81^{x^{2} - 2})$ ; para ello, mueve $x^{2} - 2$ fuera del logaritmo.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = (x^{2} - 2) \ln (81)$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Paso 11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.1

Simplifica $- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3)$ .

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Paso 11.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (27)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x (- \ln (27^{2})) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Paso 11.2.1.1.2

Eleva $27$ a la potencia de $2$ .

$x (- \ln (729)) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Paso 11.2.1.1.3

Simplifica $- 2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (3^{2})) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Paso 11.2.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (9)) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Paso 11.2.1.2

Reordena los factores en $x (- \ln (729)) + x (- \ln (9))$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Paso 11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1.1

Simplifica $- 2 \ln (81)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (81^{2})$

Paso 11.3.1.2

Eleva $81$ a la potencia de $2$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (6561)$

Paso 11.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- x \ln (729) - x \ln (9) - x^{2} \ln (81) + \ln (6561) = 0$

Paso 11.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 11.6

Sustituye los valores $a = - \ln (81)$ , $b = - \ln (729) - \ln (9)$ y $c = \ln (6561)$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- (- \ln (729) - \ln (9)) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- \ln (81) \cdot \ln (6561))}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7

Simplifica.

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Paso 11.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.2

Multiplica $- - \ln (729)$ .

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Paso 11.7.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.2.2

Multiplica $\ln (729)$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.3

Multiplica $- - \ln (9)$ .

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Paso 11.7.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + 1 \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.3.2

Multiplica $\ln (9)$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.4

Reescribe ${(- \ln (729) - \ln (9))}^{2}$ como $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.5

Expande $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 11.7.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729) - \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 11.7.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.7.1.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.2

Multiplica $\ln (729)$ por $\ln (729)$ sumando los exponentes.

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Paso 11.7.1.6.1.2.1

Mueve $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (\ln (729) \ln (729))) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.2.2

Multiplica $\ln (729)$ por $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.4

Multiplica $\ln^{2} (729)$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 1 \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.7

Multiplica $\ln (729)$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + 1 \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.10

Multiplica $\ln (9)$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.12

Multiplica $\ln (9)$ por $\ln (9)$ sumando los exponentes.

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Paso 11.7.1.6.1.12.1

Mueve $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 (\ln (9) \ln (9))) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.12.2

Multiplica $\ln (9)$ por $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + 1 \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.1.14

Multiplica $\ln^{2} (9)$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.2

Suma $\ln (729) \ln (9)$ y $\ln (9) \ln (729)$ .

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Paso 11.7.1.6.2.1

Reordena $\ln (729)$ y $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.6.2.2

Suma $\ln (9) \ln (729)$ y $\ln (9) \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.1.7

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Paso 11.7.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{- 2 \ln (81)}$

Paso 11.7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

Paso 11.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) + \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}, - \frac{\ln (729) + \ln (9) - \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

Forma decimal:

$x = - 2.73205080 \dots, 0.73205080 \dots$