Matemática discreta Ejemplos

$\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Reduce la expresión $\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Paso 1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{r^{6}}{r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $r^{6}$ y $r^{3}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $r^{3}$ de $r^{6}$ .

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Paso 1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3} \cdot 1} = \frac{729}{- 27}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3} \cdot 1} = \frac{729}{- 27}$

Paso 1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{r^{3}}{1} = \frac{729}{- 27}$

Paso 1.2.2.4

Divide $r^{3}$ por $1$ .

$r^{3} = \frac{729}{- 27}$

Paso 1.3

Divide $729$ por $- 27$ .

$r^{3} = - 27$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Suma $27$ a ambos lados de la ecuación.

$r^{3} + 27 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$r^{3} + 3^{3} = 0$

Paso 2.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = r$ y $b = 3$ .

$(r + 3) (r^{2} - r \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(r + 3) (r^{2} - 3 r + 3^{2}) = 0$

Paso 2.2.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(r + 3) (r^{2} - 3 r + 9) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r + 3 = 0$

$r^{2} - 3 r + 9 = 0$

Paso 2.4

Establece $r + 3$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 2.4.1

Establece $r + 3$ igual a $0$ .

$r + 3 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$r = - 3$

Paso 2.5

Establece $r^{2} - 3 r + 9$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 2.5.1

Establece $r^{2} - 3 r + 9$ igual a $0$ .

$r^{2} - 3 r + 9 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $r^{2} - 3 r + 9 = 0$ en $r$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.3.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(r + 3) (r^{2} - 3 r + 9) = 0$ verdadera.

$r = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3

La variable $a$ se canceló.

Todos los números reales

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Todos los números reales

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$