Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{4} \cdot {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Paso 1

Simplifica $\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$0 + 0 + \frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Paso 1.3

Combina $\frac{1}{4}$ y ${| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} = | x^{3} + 1 | - 1$

Paso 2

Resta $| x^{3} + 1 |$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ por $4$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ por $4$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 1 \cdot 4$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 4$

Paso 4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 4 = 0$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 2^{2} = 0$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 | x^{3} + 1 | = 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = | x^{3} + 1 |$ y $b = 2$ .

${(| x^{3} + 1 | - 2)}^{2} = 0$

Paso 6

Establece $| x^{3} + 1 | - 2$ igual a $0$ .

$| x^{3} + 1 | - 2 = 0$

Paso 7

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$| x^{3} + 1 | = 2$

Paso 8

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x^{3} + 1 = \pm 2$

Paso 9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x^{3} + 1 = 2$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 2 - 1$

Paso 9.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$x^{3} = 1$

Paso 9.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 1 = 0$

Paso 9.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.4.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 9.4.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 9.4.3

Simplifica.

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Paso 9.4.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Paso 9.4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Paso 9.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 9.6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 9.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 9.7

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.7.1

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 9.7.2

Resuelve $x^{2} + x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 9.7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.7.2.3

Simplifica.

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Paso 9.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.7.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 9.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.7.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.7.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.7.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.9

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x^{3} + 1 = - 2$

Paso 9.10

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.10.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 2 - 1$

Paso 9.10.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$x^{3} = - 3$

Paso 9.11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

Paso 9.12

Simplifica $\sqrt[3]{- 3}$ .

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Paso 9.12.1

Reescribe $- 3$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ .

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Paso 9.12.1.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

Paso 9.12.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

Paso 9.12.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

Paso 9.12.3

Reescribe $- 1 \sqrt[3]{3}$ como $- \sqrt[3]{3}$ .

$x = - \sqrt[3]{3}$

Paso 9.13

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \sqrt[3]{3}$

Paso 10