Matemática discreta Ejemplos

$\frac{2 x + b}{3 a - b} = \frac{x - a}{b - 3 a}$

Paso 1

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$(2 x + b) (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.1

Simplifica $(2 x + b) (b - 3 a)$ .

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Paso 2.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (2 x + b) (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Paso 2.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(2 x + b) (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Paso 2.1.3

Expande $(2 x + b) (b - 3 a)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (b - 3 a) + b (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Paso 2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x b + 2 x (- 3 a) + b (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Paso 2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x b + 2 x (- 3 a) + b \cdot b + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Paso 2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x b + 2 \cdot - 3 x a + b \cdot b + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Paso 2.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$2 x b - 6 x a + b \cdot b + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $b$ por $b$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Paso 2.1.4.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = (3 a - b) (x - a)$

Paso 2.2

Simplifica $(3 a - b) (x - a)$ .

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Paso 2.2.1

Expande $(3 a - b) (x - a)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a (x - a) - b (x - a)$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 a (- a) - b (x - a)$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 a (- a) - b x - b (- a)$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 \cdot - 1 a \cdot a - b x - b (- a)$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.2.2.1

Mueve $a$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 \cdot - 1 (a \cdot a) - b x - b (- a)$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 \cdot - 1 a^{2} - b x - b (- a)$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x - b (- a)$

Paso 2.2.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x - 1 \cdot - 1 b a$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x + 1 b a$

Paso 2.2.2.6

Multiplica $b$ por $1$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x + b a$

Paso 2.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Resta $3 a x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x = - 3 a^{2} - b x + b a$

Paso 2.3.2

Suma $b x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x + b x = - 3 a^{2} + b a$

Paso 2.3.3

Suma $2 x b$ y $b x$ .

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Paso 2.3.3.1

Mueve $x$ .

$- 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x + 2 b x + b x = - 3 a^{2} + b a$

Paso 2.3.3.2

Suma $2 b x$ y $b x$ .

$- 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a$

Paso 2.3.4

Resta $3 a x$ de $- 6 x a$ .

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Paso 2.3.4.1

Mueve $x$ .

$b^{2} - 3 b a - 6 a x - 3 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a$

Paso 2.3.4.2

Resta $3 a x$ de $- 6 a x$ .

$b^{2} - 3 b a - 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a$

Paso 2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Resta $b^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 b a - 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a - b^{2}$

Paso 2.4.2

Suma $3 b a$ a ambos lados de la ecuación.

$- 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a - b^{2} + 3 b a$

Paso 2.4.3

Suma $b a$ y $3 b a$ .

$- 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Paso 2.5

Factoriza $3 x$ de $- 9 a x + 3 b x$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $3 x$ de $- 9 a x$ .

$3 x (- 3 a) + 3 b x = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Paso 2.5.2

Factoriza $3 x$ de $3 b x$ .

$3 x (- 3 a) + 3 x (b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Paso 2.5.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (- 3 a) + 3 x (b)$ .

$3 x (- 3 a + b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Paso 2.6

Divide cada término en $3 x (- 3 a + b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$ por $3 (- 3 a + b)$ y simplifica.

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Paso 2.6.1

Divide cada término en $3 x (- 3 a + b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$ por $3 (- 3 a + b)$ .

$\frac{3 x (- 3 a + b)}{3 (- 3 a + b)} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x (- 3 a + b)}{3 (- 3 a + b)} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (- 3 a + b)}{- 3 a + b} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.2.2

Cancela el factor común de $- 3 a + b$ .

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Paso 2.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 3 a + b)}{- 3 a + b} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.3.1.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 2.6.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 a^{2}$ .

$x = \frac{3 (- a^{2})}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 (- a^{2})}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- a^{2}}{- 3 a + b} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{a^{2}}{- 3 a + b} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{a^{2}}{- 3 a + b} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.2

Para escribir $- \frac{a^{2}}{- 3 a + b}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{a^{2}}{- 3 a + b} \cdot \frac{3}{3} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(- 3 a + b) \cdot 3$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.6.3.3.1

Multiplica $\frac{a^{2}}{- 3 a + b}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{a^{2} \cdot 3}{(- 3 a + b) \cdot 3} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.3.2

Reordena los factores de $(- 3 a + b) \cdot 3$ .

$x = - \frac{a^{2} \cdot 3}{3 (- 3 a + b)} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- a^{2} \cdot 3 - b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- a^{2} \cdot 3 - b^{2} + 4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.6.3.7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 2.6.3.7.1.1

Reordena los términos.

$x = \frac{- 3 a^{2} - b^{2} + 4 a b}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.7.1.2

Reordena $- b^{2}$ y $4 a b$ .

$x = \frac{- 3 a^{2} + 4 a b - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.7.1.3

Factoriza $4$ de $4 a b$ .

$x = \frac{- 3 a^{2} + 4 (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.7.1.4

Reescribe $4$ como $1$ más $3$

$x = \frac{- 3 a^{2} + (1 + 3) (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.7.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 3 a^{2} + 1 (a b) + 3 (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.7.1.6

Multiplica $a b$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 a^{2} + a b + 3 (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.7.1.7

Mueve los paréntesis.

$x = \frac{- 3 a^{2} + a b + 3 a b - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.6.3.7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x = \frac{(- 3 a^{2} + a b) + 3 a b - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x = \frac{a (- 3 a + b) - b (- 3 a + b)}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 a + b$ .

$x = \frac{(- 3 a + b) (a - b)}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.8

Cancela el factor común de $- 3 a + b$ .

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Paso 2.6.3.8.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{(- 3 a + b) (a - b)}{3 (- 3 a + b)}$

Paso 2.6.3.8.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{a - b}{3}$