Matemática discreta Ejemplos

$6^{3 x + 2} = 7^{x - 2}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (6^{3 x + 2}) = \ln (7^{x - 2})$

Paso 2

Expande $\ln (6^{3 x + 2})$ ; para ello, mueve $3 x + 2$ fuera del logaritmo.

$(3 x + 2) \ln (6) = \ln (7^{x - 2})$

Paso 3

Expande $\ln (7^{x - 2})$ ; para ello, mueve $x - 2$ fuera del logaritmo.

$(3 x + 2) \ln (6) = (x - 2) \ln (7)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(3 x + 2) \ln (6)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (3 x + 2) \ln (6) = (x - 2) \ln (7)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(3 x + 2) \ln (6) = (x - 2) \ln (7)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (6) + 2 \ln (6) = (x - 2) \ln (7)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \ln (6) + 2 \ln (6) = x \ln (7) - 2 \ln (7)$

Paso 4.3

Resta $x \ln (7)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x \ln (6) + 2 \ln (6) - x \ln (7) = - 2 \ln (7)$

Paso 4.4

Resta $2 \ln (6)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x \ln (6) - x \ln (7) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (6)$

Paso 4.5

Factoriza $x$ de $3 x \ln (6) - x \ln (7)$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $3 x \ln (6)$ .

$x (3 \ln (6)) - x \ln (7) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (6)$

Paso 4.5.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (7)$ .

$x (3 \ln (6)) + x (- 1 \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (6)$

Paso 4.5.3

Factoriza $x$ de $x (3 \ln (6)) + x (- 1 \ln (7))$ .

$x (3 \ln (6) - 1 \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (6)$

Paso 4.6

Reescribe $- 1 \ln (7)$ como $- \ln (7)$ .

$x (3 \ln (6) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (6)$

Paso 4.7

Divide cada término en $x (3 \ln (6) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (6)$ por $3 \ln (6) - \ln (7)$ y simplifica.

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Paso 4.7.1

Divide cada término en $x (3 \ln (6) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (6)$ por $3 \ln (6) - \ln (7)$ .

$\frac{x (3 \ln (6) - \ln (7))}{3 \ln (6) - \ln (7)} = \frac{- 2 \ln (7)}{3 \ln (6) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (6)}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.2.1

Cancela el factor común de $3 \ln (6) - \ln (7)$ .

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Paso 4.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 \ln (6) - \ln (7))}{3 \ln (6) - \ln (7)} = \frac{- 2 \ln (7)}{3 \ln (6) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (6)}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (7)}{3 \ln (6) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (6)}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 2 \ln (7) - 2 \ln (6)}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 \ln (7) - 2 \ln (6)$ .

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Paso 4.7.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 \ln (7)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7)) - 2 \ln (6)}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 \ln (6)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7)) + 2 (- \ln (6))}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- \ln (7)) + 2 (- \ln (6))$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (6))}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (7)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (6))}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (6)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (6))}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.5

Factoriza $- 1$ de $- \ln (7) - \ln (6)$ .

$x = \frac{2 (- (\ln (7) + \ln (6)))}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.3.6.1

Reescribe $- (\ln (7) + \ln (6))$ como $- 1 (\ln (7) + \ln (6))$ .

$x = \frac{2 (- 1 (\ln (7) + \ln (6)))}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 4.7.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 (\ln (7) + \ln (6))}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{2 (\ln (7) + \ln (6))}{3 \ln (6) - \ln (7)}$

Forma decimal:

$x = - 2.17980067 \dots$