Matemática discreta Ejemplos

$14 x^{4} - 5 x^{2} - 1 = 0$

Paso 1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$14 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 14 \cdot - 1 = - 14$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 u$ .

$14 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 5$ como $2$ más $- 7$

$14 u^{2} + (2 - 7) u - 1 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$14 u^{2} + 2 u - 7 u - 1 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(14 u^{2} + 2 u) - 7 u - 1 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 u (7 u + 1) - (7 u + 1) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $7 u + 1$ .

$(7 u + 1) (2 u - 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$7 u + 1 = 0$

$2 u - 1 = 0$

Paso 4

Establece $7 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.1

Establece $7 u + 1$ igual a $0$ .

$7 u + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $7 u + 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$7 u = - 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $7 u = - 1$ por $7$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $7 u = - 1$ por $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{7}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{7}$

Paso 5

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.1

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(7 u + 1) (2 u - 1) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{1}{7}, \frac{1}{2}$

Paso 7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

Paso 8

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$

Paso 9.2

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$ .

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Paso 9.2.1

Reescribe $- \frac{1}{7}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{7}$ .

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Paso 9.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{7}}$

Paso 9.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{7}}$

Paso 9.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{7}}$

Paso 9.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{7}}$

Paso 9.2.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{7}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Paso 9.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{7}}$

Paso 9.2.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Paso 9.2.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.2.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 9.2.7.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Paso 9.2.7.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Paso 9.2.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 9.2.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 9.2.7.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 9.2.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.2.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.2.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Paso 9.2.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 9.2.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Paso 9.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Paso 9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Paso 10

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Paso 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 11.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 11.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 11.3.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 11.3.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 11.3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.3.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 11.3.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 11.3.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 11.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 11.3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 11.3.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 11.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 11.3.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 12

La solución a $14 x^{4} - 5 x^{2} - 1 = 0$ es $x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$