Matemática discreta Ejemplos

12 e^{6.8 x} = 8 e^{3 x}

$12 e^{6.8 x} = 8 e^{3 x}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

ln (12 e^{6.8 x}) = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12 e^{6.8 x}) = \ln (8 e^{3 x})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe

ln (12 e^{6.8 x})

$\ln (12 e^{6.8 x})$ como

ln (12) + ln (e^{6.8 x})

$\ln (12) + \ln (e^{6.8 x})$ .

ln (12) + ln (e^{6.8 x}) = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + \ln (e^{6.8 x}) = \ln (8 e^{3 x})$

Paso 2.2

Expande

ln (e^{6.8 x})

$\ln (e^{6.8 x})$ ; para ello, mueve

6.8 x

$6.8 x$ fuera del logaritmo.

ln (12) + 6.8 x ln (e) = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x \ln (e) = \ln (8 e^{3 x})$

Paso 2.3

El logaritmo natural de

e

$e$ es

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x \cdot 1 = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x \cdot 1 = \ln (8 e^{3 x})$

Paso 2.4

Multiplica

6.8

$6.8$ por

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8 e^{3 x})$

ln (12) + 6.8 x = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8 e^{3 x})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Reescribe

ln (8 e^{3 x})

$\ln (8 e^{3 x})$ como

ln (8) + ln (e^{3 x})

$\ln (8) + \ln (e^{3 x})$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + ln (e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + \ln (e^{3 x})$

Paso 3.2

Expande

ln (e^{3 x})

$\ln (e^{3 x})$ ; para ello, mueve

3 x

$3 x$ fuera del logaritmo.

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x ln (e)

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x \ln (e)$

Paso 3.3

El logaritmo natural de

e

$e$ es

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x \cdot 1

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica

3

$3$ por

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x$

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

ln (12) - ln (8) = - 6.8 x + 3 x

$\ln (12) - \ln (8) = - 6.8 x + 3 x$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

ln (\frac{12}{8}) = - 6.8 x + 3 x

$\ln (\frac{12}{8}) = - 6.8 x + 3 x$

Paso 6

Cancela el factor común de

12

$12$ y

8

$8$ .

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Paso 6.1

Factoriza

4

$4$ de

12

$12$ .

ln (\frac{4 (3)}{8}) = - 6.8 x + 3 x

$\ln (\frac{4 (3)}{8}) = - 6.8 x + 3 x$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Factoriza

4

$4$ de

8

$8$ .

ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x

$\ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{3}{2}) = - 6.8 x + 3 x$

Paso 7

Suma

$- 6.8 x$ y

$3 x$ .

$\ln (\frac{3}{2}) = - 3.8 x$

Paso 8

Como

$x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 9

Divide cada término en

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$ por

$- 3.8$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$ por

$- 3.8$ .

$\frac{- 3.8 x}{- 3.8} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de

$- 3.8$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3.8 x}{- 3.8} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Paso 9.2.1.2

Divide

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{3}{2})}{3.8}$

Paso 9.3.2

Reemplaza

$e$ con una aproximación.

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (\frac{3}{2})}{3.8}$

Paso 9.3.3

Divide

$3$ por

$2$ .

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (1.5)}{3.8}$

Paso 9.3.4

El logaritmo en base

$2.71828182$ de

$1.5$ es aproximadamente

$0.4054651$ .

$x = - \frac{0.4054651}{3.8}$

Paso 9.3.5

Divide

$0.4054651$ por

$3.8$ .

$x = - 1 \cdot 0.10670134$

Paso 9.3.6

Multiplica

$- 1$ por

$0.10670134$ .

$x = - 0.10670134$