Matemática discreta Ejemplos

$103 + x^{2} = 47 + \frac{5}{2} x^{2}$

Paso 1

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{2}$ .

$103 + x^{2} = 47 + \frac{5 x^{2}}{2}$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $\frac{5 x^{2}}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$103 + x^{2} - \frac{5 x^{2}}{2} = 47$

Paso 2.2

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$103 + x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 x^{2}}{2} = 47$

Paso 2.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$103 + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{5 x^{2}}{2} = 47$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$103 + \frac{x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2} = 47$

Paso 2.5

Resta $5 x^{2}$ de $x^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.5.1

Reordena $x^{2}$ y $2$ .

$103 + \frac{2 \cdot x^{2} - 5 x^{2}}{2} = 47$

Paso 2.5.2

Resta $5 x^{2}$ de $2 \cdot x^{2}$ .

$103 + \frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} = 47$

Paso 2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$103 - \frac{3 x^{2}}{2} = 47$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $103$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{3 x^{2}}{2} = 47 - 103$

Paso 3.2

Resta $103$ de $47$ .

$- \frac{3 x^{2}}{2} = - 56$

Paso 4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{3 x^{2}}{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $- \frac{2}{3} (- \frac{3 x^{2}}{2})$ .

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Paso 5.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{- 2}{3} (- \frac{3 x^{2}}{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 x^{2}}{2}$ al numerador.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3} (- 3 x^{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- 1}{3} (3 (- x^{2})) = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3} (3 (- x^{2})) = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - x^{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5.1.1.3

Multiplica.

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Paso 5.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5.1.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- \frac{2}{3} \cdot - 56$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 56$ por $- 1$ .

$x^{2} = 56 (\frac{2}{3})$

Paso 5.2.1.2

Combina $56$ y $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} = \frac{56 \cdot 2}{3}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $56$ por $2$ .

$x^{2} = \frac{112}{3}$

Paso 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{112}{3}}$

Paso 7

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{112}{3}}$ .

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Paso 7.1

Reescribe $\sqrt{\frac{112}{3}}$ como $\frac{\sqrt{112}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{112}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1

Reescribe $112$ como $4^{2} \cdot 7$ .

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Paso 7.2.1.1

Factoriza $16$ de $112$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (7)}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 7}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 7.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 7.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 7.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 7.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 7.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 7.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3 \cdot 7}}{3}$

Paso 7.5.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Paso 8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Paso 8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Paso 8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{4 \sqrt{21}}{3}, - \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{4 \sqrt{21}}{3}, - \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Forma decimal:

$x = 6.11010092 \dots, - 6.11010092 \dots$