Matemática discreta Ejemplos

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $2 \log_{4} (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{4} (x^{2}) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$

Paso 3

Reescribe $\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x^{2} = 4 (x - 1)$

Paso 5

Simplifica $4 (x - 1)$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = 4 x + 4 \cdot - 1$

Paso 5.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x^{2} = 4 x - 4$

Paso 6

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x = - 4$

Paso 7

Factoriza $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = - 4$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = - 4$

Paso 8

Simplifica $x (x - 4)$ .

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Paso 8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 = - 4$

Paso 8.2.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 4 x = - 4$

Paso 9

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 10

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 10.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Paso 10.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 10.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Paso 10.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 11

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 12

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$