Matemática discreta Ejemplos

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Paso 1

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 5$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3

Resta $32$ de $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Paso 3.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Paso 4

Sustituye $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Paso 5

Resuelve $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Paso 5.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Paso 5.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Paso 5.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Paso 5.4

Expande el lado derecho.

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Paso 5.4.1

Reescribe $\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ como $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Paso 5.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Paso 5.4.3

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Paso 5.4.4

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Paso 5.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Simplifica $- 2 \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Paso 5.5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Paso 5.5.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Paso 6

Sustituye $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Paso 7

Resuelve $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Paso 7.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Paso 7.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Paso 7.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Paso 7.4

Expande el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Reescribe $\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ como $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Paso 7.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Paso 7.4.3

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Paso 7.4.4

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Paso 7.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.5.1.1

Simplifica $- 2 \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Paso 7.5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Paso 7.5.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Paso 8

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$