Matemática discreta Ejemplos

2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Paso 1

Reescribe

$e^{2 x}$ como exponenciación.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Paso 2

Sustituye

$u$ por

$e^{x}$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Paso 3

Resuelve

$u$

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Paso 3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2

Sustituye los valores

$a = 2$ ,

$b = - 5$ y

$c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve

$u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Eleva

$- 5$ a la potencia de

$2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica

$- 8$ por

$4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3

Resta

$32$ de

$25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.4

Reescribe

$- 7$ como

$- 1 (7)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.5

Reescribe

$\sqrt{- 1 (7)}$ como

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.6

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Paso 3.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Paso 4

Sustituye

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ por

$u$ en

$u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Paso 5

Resuelve

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Paso 5.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Expande

$\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve

$x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Paso 5.3.2

El logaritmo natural de

$e$ es

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Paso 5.3.3

Multiplica

$x$ por

$1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Paso 5.4

Expande el lado derecho.

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Paso 5.4.1

Reescribe

$\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ como

$\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Paso 5.4.2

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{7}$ como

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Paso 5.4.3

Reescribe

$\ln (4)$ como

$\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Paso 5.4.4

Expande

$\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve

$2$ fuera del logaritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Paso 5.4.5

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Simplifica

$- 2 \ln (2)$ al mover

$2$ dentro del algoritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Paso 5.5.1.2

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Paso 5.5.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Paso 6

Sustituye

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ por

$u$ en

$u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Paso 7

Resuelve

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Paso 7.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1

Expande

$\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve

$x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Paso 7.3.2

El logaritmo natural de

$e$ es

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Paso 7.3.3

Multiplica

$x$ por

$1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Paso 7.4

Expande el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Reescribe

$\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ como

$\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Paso 7.4.2

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{7}$ como

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Paso 7.4.3

Reescribe

$\ln (4)$ como

$\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Paso 7.4.4

Expande

$\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve

$2$ fuera del logaritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Paso 7.4.5

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Paso 7.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1.1

Simplifica

$- 2 \ln (2)$ al mover

$2$ dentro del algoritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Paso 7.5.1.2

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Paso 7.5.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Paso 8

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$