Matemática discreta Ejemplos

${(n - 6)}^{5}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(n - 6)}^{5}$ , $n = 5$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $6$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $n$ y $b$ en la expresión $- 6$ .

$1 {(n)}^{5} {(- 6)}^{0} + 5 {(n)}^{4} {(- 6)}^{1} + 10 {(n)}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {(n)}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 {(n)}^{1} {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(n)}^{5}$ por $1$ .

${(n)}^{5} {(- 6)}^{0} + 5 {(n)}^{4} {(- 6)}^{1} + 10 {(n)}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {(n)}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 {(n)}^{1} {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$n^{5} \cdot 1 + 5 {(n)}^{4} {(- 6)}^{1} + 10 {(n)}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {(n)}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 {(n)}^{1} {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.3

Multiplica $n^{5}$ por $1$ .

$n^{5} + 5 {(n)}^{4} {(- 6)}^{1} + 10 {(n)}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {(n)}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 {(n)}^{1} {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.4

Evalúa el exponente.

$n^{5} + 5 n^{4} \cdot - 6 + 10 {(n)}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {(n)}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 {(n)}^{1} {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.5

Multiplica $- 6$ por $5$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 10 {(n)}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {(n)}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 {(n)}^{1} {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.6

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 10 n^{3} \cdot 36 + 10 {(n)}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 {(n)}^{1} {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.7

Multiplica $36$ por $10$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 360 n^{3} + 10 {(n)}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 {(n)}^{1} {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.8

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 360 n^{3} + 10 n^{2} \cdot - 216 + 5 {(n)}^{1} {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.9

Multiplica $- 216$ por $10$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 360 n^{3} - 2160 n^{2} + 5 {(n)}^{1} {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.10

Simplifica.

$n^{5} - 30 n^{4} + 360 n^{3} - 2160 n^{2} + 5 n {(- 6)}^{4} + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.11

Eleva $- 6$ a la potencia de $4$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 360 n^{3} - 2160 n^{2} + 5 n \cdot 1296 + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.12

Multiplica $1296$ por $5$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 360 n^{3} - 2160 n^{2} + 6480 n + 1 {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.13

Multiplica ${(n)}^{0}$ por $1$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 360 n^{3} - 2160 n^{2} + 6480 n + {(n)}^{0} {(- 6)}^{5}$

Paso 4.14

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 360 n^{3} - 2160 n^{2} + 6480 n + 1 {(- 6)}^{5}$

Paso 4.15

Multiplica ${(- 6)}^{5}$ por $1$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 360 n^{3} - 2160 n^{2} + 6480 n + {(- 6)}^{5}$

Paso 4.16

Eleva $- 6$ a la potencia de $5$ .

$n^{5} - 30 n^{4} + 360 n^{3} - 2160 n^{2} + 6480 n - 7776$