Matemática discreta Ejemplos

$4 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} = 8$

Paso 1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} - 8 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 2 y$ y $c = 5 y^{2} - 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 y^{2} - 8))}}{2 \cdot 4}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Agrega paréntesis.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 y^{2} - 8))}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.2

Sea $u = 4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.3

Factoriza $4$ de $4 y^{2} - 4 u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - u)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (4 \cdot (5 y^{2} - 8)))}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (4 (5 y^{2}) + 4 \cdot - 8))}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.5.1.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2} + 4 \cdot - 8))}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.5.1.3

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2} - 32))}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.5.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2}) + 32)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.5.1.5

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - 20 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.5.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 32$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - 20 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.5.2

Resta $20 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- 19 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- 19 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{8}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{8}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{y + \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$

$x = \frac{y - \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$