Matemática discreta Ejemplos

${(\frac{2 c - 3}{5})}^{2} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Paso 1

Simplifica ${(\frac{2 c - 3}{5})}^{2} + 2 (\frac{2 c - 3}{5})$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 c - 3}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{5^{2}} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Paso 1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Paso 1.1.3

Combina $2$ y $\frac{2 c - 3}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3)}{5} = 8$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{2 (2 c - 3)}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3)}{5} \cdot \frac{5}{5} = 8$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $25$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{2 (2 c - 3)}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3) \cdot 5}{5 \cdot 5} = 8$

Paso 1.3.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(2 c - 3)}^{2} + 2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Factoriza $2 c - 3$ de ${(2 c - 3)}^{2} + 2 (2 c - 3) \cdot 5$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $2 c - 3$ de ${(2 c - 3)}^{2}$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3) + 2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $2 c - 3$ de $2 (2 c - 3) \cdot 5$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3) + (2 c - 3) (2 \cdot 5)}{25} = 8$

Paso 1.5.1.3

Factoriza $2 c - 3$ de $(2 c - 3) (2 c - 3) + (2 c - 3) (2 \cdot 5)$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3 + 2 \cdot 5)}{25} = 8$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3 + 10)}{25} = 8$

Paso 1.5.3

Suma $- 3$ y $10$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} = 8$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $25$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25 = 8 \cdot 25$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25 = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$(2 c - 3) (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.2

Expande $(2 c - 3) (2 c + 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 c (2 c + 7) - 3 (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 c (2 c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 c (2 c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 c \cdot c + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.3.1.2

Multiplica $c$ por $c$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.3.1.2.1

Mueve $c$ .

$2 \cdot 2 (c \cdot c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.3.1.2.2

Multiplica $c$ por $c$ .

$2 \cdot 2 c^{2} + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 c^{2} + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.3.1.4

Multiplica $7$ por $2$ .

$4 c^{2} + 14 c - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$4 c^{2} + 14 c - 6 c - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$4 c^{2} + 14 c - 6 c - 21 = 8 \cdot 25$

Paso 3.1.1.3.2

Resta $6 c$ de $14 c$ .

$4 c^{2} + 8 c - 21 = 8 \cdot 25$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Multiplica $8$ por $25$ .

$4 c^{2} + 8 c - 21 = 200$

Paso 4

Resuelve $c$

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Paso 4.1

Resta $200$ de ambos lados de la ecuación.

$4 c^{2} + 8 c - 21 - 200 = 0$

Paso 4.2

Resta $200$ de $- 21$ .

$4 c^{2} + 8 c - 221 = 0$

Paso 4.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 221 = - 884$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $8$ de $8 c$ .

$4 c^{2} + 8 (c) - 221 = 0$

Paso 4.3.1.2

Reescribe $8$ como $- 26$ más $34$

$4 c^{2} + (- 26 + 34) c - 221 = 0$

Paso 4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 c^{2} - 26 c + 34 c - 221 = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 c^{2} - 26 c) + 34 c - 221 = 0$

Paso 4.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 c (2 c - 13) + 17 (2 c - 13) = 0$

Paso 4.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 c - 13$ .

$(2 c - 13) (2 c + 17) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 c - 13 = 0$

$2 c + 17 = 0$

Paso 4.5

Establece $2 c - 13$ igual a $0$ y resuelve $c$ .

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Paso 4.5.1

Establece $2 c - 13$ igual a $0$ .

$2 c - 13 = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $2 c - 13 = 0$ en $c$ .

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Paso 4.5.2.1

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$2 c = 13$

Paso 4.5.2.2

Divide cada término en $2 c = 13$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.2.1

Divide cada término en $2 c = 13$ por $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{13}{2}$

Paso 4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 c}{2} = \frac{13}{2}$

Paso 4.5.2.2.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{13}{2}$

Paso 4.6

Establece $2 c + 17$ igual a $0$ y resuelve $c$ .

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Paso 4.6.1

Establece $2 c + 17$ igual a $0$ .

$2 c + 17 = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve $2 c + 17 = 0$ en $c$ .

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Paso 4.6.2.1

Resta $17$ de ambos lados de la ecuación.

$2 c = - 17$

Paso 4.6.2.2

Divide cada término en $2 c = - 17$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.6.2.2.1

Divide cada término en $2 c = - 17$ por $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{- 17}{2}$

Paso 4.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 c}{2} = \frac{- 17}{2}$

Paso 4.6.2.2.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{- 17}{2}$

Paso 4.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$c = - \frac{17}{2}$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 c - 13) (2 c + 17) = 0$ verdadera.

$c = \frac{13}{2}, - \frac{17}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$c = \frac{13}{2}, - \frac{17}{2}$

Forma decimal:

$c = 6.5, - 8.5$

Forma de número mixto:

$c = 6 \frac{1}{2}, - 8 \frac{1}{2}$