Matemática discreta Ejemplos

${(x + 3)}^{8}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

$1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(x + 3)}^{8}$ , $n = 8$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $9$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$ .

$1 a^{8} b^{0} + 8 a^{7} b + 28 a^{6} b^{2} + 56 a^{5} b^{3} + 70 a^{4} b^{4} + 56 a^{3} b^{5} + 28 a^{2} b^{6} + 8 a b^{7} + 1 a^{0} b^{8}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $x$ y $b$ en la expresión $3$ .

$1 {(x)}^{8} {(3)}^{0} + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x)}^{8}$ por $1$ .

${(x)}^{8} {(3)}^{0} + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{8} \cdot 1 + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.3

Multiplica $x^{8}$ por $1$ .

$x^{8} + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.4

Evalúa el exponente.

$x^{8} + 8 x^{7} \cdot 3 + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.5

Multiplica $3$ por $8$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 28 x^{6} \cdot 9 + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.7

Multiplica $9$ por $28$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.8

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 56 x^{5} \cdot 27 + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.9

Multiplica $27$ por $56$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.10

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 70 x^{4} \cdot 81 + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.11

Multiplica $81$ por $70$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.12

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 56 x^{3} \cdot 243 + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.13

Multiplica $243$ por $56$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.14

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 28 x^{2} \cdot 729 + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.15

Multiplica $729$ por $28$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.16

Simplifica.

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 8 x {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.17

Eleva $3$ a la potencia de $7$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 8 x \cdot 2187 + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.18

Multiplica $2187$ por $8$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.19

Multiplica ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Paso 4.20

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + 1 {(3)}^{8}$

Paso 4.21

Multiplica ${(3)}^{8}$ por $1$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + {(3)}^{8}$

Paso 4.22

Eleva $3$ a la potencia de $8$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + 6561$