Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 1

Escribe $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ como una ecuación.

$y = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 2

Intercambia las variables.

$x = (9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$

Step 3

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$ .

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Resuelve $\sqrt{y}$

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Simplifica $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ .

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Expande $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y} + 3) - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 \cdot 7 \sqrt{y} \sqrt{y} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multiplica $\sqrt{y}$ por $\sqrt{y}$ sumando los exponentes.

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Mueve $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 (\sqrt{y} \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multiplica $\sqrt{y}$ por $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multiplica $9$ por $7$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multiplica $3$ por $9$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multiplica $7$ por $- 5$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 5 \cdot 3 = x$

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 15 = x$

Resta $35 \sqrt{y}$ de $27 \sqrt{y}$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 = x$

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 - x = 0$

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 63$ , $b = - 8$ y $c = - 15 - x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $\sqrt{y}$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (63 \cdot (- 15 - x))}}{2 \cdot 63}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $- 4$ por $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $- 252$ por $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $- 1$ por $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Suma $64$ y $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factoriza $4$ de $3844 + 252 x$ .

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Factoriza $4$ de $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factoriza $4$ de $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Factoriza $4$ de $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Reescribe $4 (961 + 63 x)$ como $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Reescribe $961$ como $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Eleva $31$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $2$ por $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $- 4$ por $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $- 252$ por $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $- 1$ por $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Suma $64$ y $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factoriza $4$ de $3844 + 252 x$ .

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Factoriza $4$ de $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factoriza $4$ de $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Factoriza $4$ de $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Reescribe $4 (961 + 63 x)$ como $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Reescribe $961$ como $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Eleva $31$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $2$ por $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Cambia $\pm$ a $+$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $- 4$ por $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $- 252$ por $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $- 1$ por $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Suma $64$ y $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factoriza $4$ de $3844 + 252 x$ .

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Factoriza $4$ de $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Factoriza $4$ de $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Factoriza $4$ de $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Reescribe $4 (961 + 63 x)$ como $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Reescribe $961$ como $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Eleva $31$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Multiplica $2$ por $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Cambia $\pm$ a $-$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Simplifica.

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ es la inversa de $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

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El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ y $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ y compáralos.

Obtén el rango de $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

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El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- \frac{961}{63}, - 15]$

Obtén el dominio de $\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$ .

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Establece el radicando en $\sqrt{961 + 63 x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$961 + 63 x \geq 0$

Resuelve $x$

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Resta $961$ de ambos lados de la desigualdad.

$63 x \geq - 961$

Divide cada término en $63 x \geq - 961$ por $63$ y simplifica.

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Divide cada término en $63 x \geq - 961$ por $63$ .

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $63$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 961}{63}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x \geq - \frac{961}{63}$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- \frac{961}{63}, \infty)$

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ no es igual al rango de $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ no es una inversa de $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

No hay una inversa

Step 6