Matemática discreta Ejemplos

$g (x) = \frac{3 x - 5}{x + 1}$ , $h (y) = \sqrt{1 - 3 y}$ , $h (g (0))$

Paso 1

Establece la función de resultado compuesta.

$h (g (x))$

Paso 2

Evalúa $h (\frac{3 x - 5}{x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $g$ en $h$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{1 - 3 \frac{3 x - 5}{x + 1}}$

Paso 3

Combina $- 3$ y $\frac{3 x - 5}{x + 1}$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{1 + \frac{- 3 (3 x - 5)}{x + 1}}$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{1 - \frac{3 (3 x - 5)}{x + 1}}$

Paso 4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{3 (3 x - 5)}{x + 1}}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{\frac{x + 1 - 3 (3 x - 5)}{x + 1}}$

Paso 6

Reescribe $\frac{x + 1 - 3 (3 x - 5)}{x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{\frac{x + 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 5}{x + 1}}$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{\frac{x + 1 - 9 x - 3 \cdot - 5}{x + 1}}$

Paso 6.3

Multiplica $- 3$ por $- 5$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{\frac{x + 1 - 9 x + 15}{x + 1}}$

Paso 6.4

Resta $9 x$ de $x$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{\frac{- 8 x + 1 + 15}{x + 1}}$

Paso 6.5

Suma $1$ y $15$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{\frac{- 8 x + 16}{x + 1}}$

Paso 6.6

Factoriza $8$ de $- 8 x + 16$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $8$ de $- 8 x$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{\frac{8 (- x) + 16}{x + 1}}$

Paso 6.6.2

Factoriza $8$ de $16$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{\frac{8 (- x) + 8 (2)}{x + 1}}$

Paso 6.6.3

Factoriza $8$ de $8 (- x) + 8 (2)$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \sqrt{\frac{8 (- x + 2)}{x + 1}}$

Paso 7

Reescribe $\sqrt{\frac{8 (- x + 2)}{x + 1}}$ como $\frac{\sqrt{8 (- x + 2)}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{\sqrt{8 (- x + 2)}}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Reescribe $8 (- x + 2)$ como $2^{2} \cdot (2 (- x + 2))$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{\sqrt{4 (2) (- x + 2)}}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 8.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 8.1.3

Agrega paréntesis.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 8.2

Retira los términos de abajo del radical.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)}}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 9

Multiplica $\frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)}}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)}}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)}}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Paso 10.2

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Paso 10.3

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Paso 10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Paso 10.5

Suma $1$ y $1$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Paso 10.6

Reescribe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Paso 10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 10.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.6.4.1

Cancela el factor común.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Paso 10.6.5

Simplifica.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Paso 11

Combina con la regla del producto para radicales.

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{(x + 1) \cdot (2 (- x + 2))}}{x + 1}$

Paso 12

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$h (\frac{3 x - 5}{x + 1}) = \frac{2 \sqrt{2 (x + 1) (- x + 2)}}{x + 1}$

Paso 13

Evalúa la función de resultado mediante el reemplazo de $x$ con $0$ en la función.

$\frac{2 \sqrt{2 ((0) + 1) (- (0) + 2)}}{(0) + 1}$

Paso 14

Simplifica la función evaluada.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2 (0 + 1) (0 + 2)}}{0 + 1}$

Paso 14.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 \cdot 1 (0 + 2)}}{0 + 1}$

Paso 14.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 (0 + 2)}}{0 + 1}$

Paso 14.1.4

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 \cdot 2}}{0 + 1}$

Paso 14.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{4}}{0 + 1}$

Paso 14.1.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2^{2}}}{0 + 1}$

Paso 14.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 \cdot 2}{0 + 1}$

Paso 14.2

Simplifica la expresión.

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Paso 14.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1}$

Paso 14.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{1}$

Paso 14.2.3

Divide $4$ por $1$ .

$4$