Matemática discreta Ejemplos

$79 \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

Paso 1

Resta $\cos (2 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$79 \sin^{2} (x) - \cos (2 x) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$79 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$79 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.2

Suma $79 \sin^{2} (x)$ y $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 81 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 3

Factoriza $- 1 + 81 \sin^{2} (x)$ .

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Paso 3.1

Reescribe $81 \sin^{2} (x)$ como ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

$- 1 + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Paso 3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 1^{2} + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Paso 3.3

Reordena $- 1^{2}$ y ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

${(9 \sin (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

Paso 3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 9 \sin (x)$ y $b = 1$ .

$(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Paso 5

Establece $9 \sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $9 \sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $9 \sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$9 \sin (x) = - 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $9 \sin (x) = - 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $9 \sin (x) = - 1$ por $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{9}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{9}$

Paso 5.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{9})$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.1

Evalúa $\arcsin (- \frac{1}{9})$ .

$x = - 0.11134101$

Paso 5.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$

Paso 5.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265 - 2 π$

Paso 5.2.6.2

El ángulo resultante de $3.25293366$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 3.25293366$

Paso 5.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 5.2.8.1

Suma $2 π$ y $- 0.11134101$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.11134101 + 2 π$

Paso 5.2.8.2

Resta $0.11134101$ de $2 π$ .

$6.17184429$

Paso 5.2.8.3

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 6.17184429$

Paso 5.2.9

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $9 \sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $9 \sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $9 \sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$9 \sin (x) = 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $9 \sin (x) = 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $9 \sin (x) = 1$ por $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{9}$

Paso 6.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{9})$

Paso 6.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{1}{9})$ .

$x = 0.11134101$

Paso 6.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Paso 6.2.6

Resuelve $x$

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Paso 6.2.6.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 - 0.11134101$

Paso 6.2.6.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Paso 6.2.6.3

Resta $0.11134101$ de $3.14159265$ .

$x = 3.03025163$

Paso 6.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n, 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

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Paso 8.1

Consolida $3.25293366 + 2 π n$ y $0.11134101 + 2 π n$ en $0.11134101 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 6.17184429 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8.2

Consolida $6.17184429 + 2 π n$ y $3.03025163 + 2 π n$ en $3.03025163 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 3.03025163 + π n$ , para cualquier número entero $n$