Matemática discreta Ejemplos

$6 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 1$

Paso 1

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$6 {(u)}^{2} - 4 u = 1$

Paso 2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$6 u^{2} - 4 u - 1 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 6$ , $b = - 4$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 1)}}{2 \cdot 6}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6 \cdot - 1}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 6 \cdot - 1$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24 \cdot - 1}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 24$ por $- 1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.1.3

Suma $16$ y $24$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.1.4

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 6}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{12}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{12}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{6}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}, \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Paso 7

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}, \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Paso 8

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Paso 9

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}$ .

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Paso 9.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{2 + \sqrt{10}}{6})$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\arcsin (\frac{2 + \sqrt{10}}{6})$ .

$x = 1.03601404$

Paso 9.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) - 1.03601404$

Paso 9.4

Resuelve $x$

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Paso 9.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 - 1.03601404$

Paso 9.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) - 1.03601404$

Paso 9.4.3

Resta $1.03601404$ de $3.14159265$ .

$x = 2.1055786$

Paso 9.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 9.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 9.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.03601404 + 2 π n, 2.1055786 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$ .

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Paso 10.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{10}}{6})$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

Evalúa $\arcsin (\frac{2 - \sqrt{10}}{6})$ .

$x = - 0.19494537$

Paso 10.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) + 0.19494537$

Paso 10.4

Resuelve $x$

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Paso 10.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 0.19494537$

Paso 10.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 0.19494537$

Paso 10.4.3

Suma $3.14159265$ y $0.19494537$ .

$x = 3.33653802$

Paso 10.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 10.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 10.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 10.6.1

Suma $2 π$ y $- 0.19494537$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.19494537 + 2 π$

Paso 10.6.2

Resta $0.19494537$ de $2 π$ .

$6.08823993$

Paso 10.6.3

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 6.08823993$

Paso 10.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 3.33653802 + 2 π n, 6.08823993 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Enumera todas las soluciones.

$x = 1.03601404 + 2 π n, 2.1055786 + 2 π n, 3.33653802 + 2 π n, 6.08823993 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$