Matemática discreta Ejemplos

$a (n) = \frac{n + 1}{n + 3}$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, n + 3$

Paso 1.2

Elimina los paréntesis.

$1, n + 3$

Paso 1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$n + 3$

Paso 2

Multiplica cada término en $a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ por $n + 3$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ por $n + 3$ .

$a n (n + 3) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a n \cdot n + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Paso 2.2.2

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Mueve $n$ .

$a (n \cdot n) + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$a n^{2} + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Paso 2.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $a n$ .

$a n^{2} + 3 \cdot (a n) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Paso 2.2.4

Elimina los paréntesis.

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $n + 3$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$a n^{2} + 3 a n = n + 1$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $n$ de ambos lados de la ecuación.

$a n^{2} + 3 a n - n = 1$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$a n^{2} + 3 a n - n - 1 = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = a$ , $b = 3 a - 1$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $n$ .

$\frac{- (3 a - 1) \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot - 1)}}{2 a}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$n = \frac{- (3 a) + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.4

Reescribe ${(3 a - 1)}^{2}$ como $(3 a - 1) (3 a - 1)$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{(3 a - 1) (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.5

Expande $(3 a - 1) (3 a - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a - 1) - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a \cdot a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.6.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.6.1.2.1

Mueve $a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (a \cdot a)) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.6.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a^{2}) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.6.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.6.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.6.2

Resta $3 a$ de $- 3 a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Paso 3.5.7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 + 4 a}}{2 a}$

Paso 3.5.8

Suma $- 6 a$ y $4 a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

Paso 3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$