Matemática discreta Ejemplos

$120 = 7700 (\frac{0.003}{{(1.003)}^{n} - 1})$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $7700 (\frac{0.003}{{1.003}^{n} - 1}) = 120$ .

$7700 (\frac{0.003}{{1.003}^{n} - 1}) = 120$

Paso 2

Multiplica $7700 (\frac{0.003}{{1.003}^{n} - 1})$ .

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Paso 2.1

Combina $7700$ y $\frac{0.003}{{1.003}^{n} - 1}$ .

$\frac{7700 \cdot 0.003}{{1.003}^{n} - 1} = 120$

Paso 2.2

Multiplica $7700$ por $0.003$ .

$\frac{23.1}{{1.003}^{n} - 1} = 120$

Paso 3

Multiplica ambos lados por ${1.003}^{n} - 1$ .

$\frac{23.1}{{1.003}^{n} - 1} ({1.003}^{n} - 1) = 120 ({1.003}^{n} - 1)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de ${1.003}^{n} - 1$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{23.1}{{1.003}^{n} - 1} ({1.003}^{n} - 1) = 120 ({1.003}^{n} - 1)$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$23.1 = 120 ({1.003}^{n} - 1)$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $120 ({1.003}^{n} - 1)$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$23.1 = 120 \cdot {1.003}^{n} + 120 \cdot - 1$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $120$ por $- 1$ .

$23.1 = 120 \cdot {1.003}^{n} - 120$

Paso 5

Resuelve $n$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $120 \cdot {1.003}^{n} - 120 = 23.1$ .

$120 \cdot {1.003}^{n} - 120 = 23.1$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $120$ a ambos lados de la ecuación.

$120 \cdot {1.003}^{n} = 23.1 + 120$

Paso 5.2.2

Suma $23.1$ y $120$ .

$120 \cdot {1.003}^{n} = 143.1$

Paso 5.3

Divide cada término en $120 \cdot {1.003}^{n} = 143.1$ por $120$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $120 \cdot {1.003}^{n} = 143.1$ por $120$ .

$\frac{120 \cdot {1.003}^{n}}{120} = \frac{143.1}{120}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $120$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{120 \cdot {1.003}^{n}}{120} = \frac{143.1}{120}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide ${1.003}^{n}$ por $1$ .

${1.003}^{n} = \frac{143.1}{120}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Divide $143.1$ por $120$ .

${1.003}^{n} = 1.1925$

Paso 5.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.003}^{n}) = \ln (1.1925)$

Paso 5.5

Expande $\ln ({1.003}^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (1.003) = \ln (1.1925)$

Paso 5.6

Divide cada término en $n \ln (1.003) = \ln (1.1925)$ por $\ln (1.003)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $n \ln (1.003) = \ln (1.1925)$ por $\ln (1.003)$ .

$\frac{n \ln (1.003)}{\ln (1.003)} = \frac{\ln (1.1925)}{\ln (1.003)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (1.003)$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (1.003)}{\ln (1.003)} = \frac{\ln (1.1925)}{\ln (1.003)}$

Paso 5.6.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{\ln (1.1925)}{\ln (1.003)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$n = \frac{\ln (1.1925)}{\ln (1.003)}$

Forma decimal:

$n = 58.77196328 \dots$