Matemática discreta Ejemplos

$16 = 38 r - 12 r^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $38 r - 12 r^{2} = 16$ .

$38 r - 12 r^{2} = 16$

Paso 2

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$38 r - 12 r^{2} - 16 = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $- 2$ de $38 r - 12 r^{2} - 16$ .

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Paso 3.1.1

Reordena $38 r$ y $- 12 r^{2}$ .

$- 12 r^{2} + 38 r - 16 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $- 2$ de $- 12 r^{2}$ .

$- 2 (6 r^{2}) + 38 r - 16 = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $- 2$ de $38 r$ .

$- 2 (6 r^{2}) - 2 (- 19 r) - 16 = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $- 2$ de $- 16$ .

$- 2 (6 r^{2}) - 2 (- 19 r) - 2 \cdot 8 = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 (6 r^{2}) - 2 (- 19 r)$ .

$- 2 (6 r^{2} - 19 r) - 2 \cdot 8 = 0$

Paso 3.1.6

Factoriza $- 2$ de $- 2 (6 r^{2} - 19 r) - 2 (8)$ .

$- 2 (6 r^{2} - 19 r + 8) = 0$

Paso 3.2

Factoriza.

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Paso 3.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot 8 = 48$ y cuya suma es $b = - 19$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Factoriza $- 19$ de $- 19 r$ .

$- 2 (6 r^{2} - 19 r + 8) = 0$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe $- 19$ como $- 3$ más $- 16$

$- 2 (6 r^{2} + (- 3 - 16) r + 8) = 0$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (6 r^{2} - 3 r - 16 r + 8) = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 2 ((6 r^{2} - 3 r) - 16 r + 8) = 0$

Paso 3.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 2 (3 r (2 r - 1) - 8 (2 r - 1)) = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 r - 1$ .

$- 2 ((2 r - 1) (3 r - 8)) = 0$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (2 r - 1) (3 r - 8) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 r - 1 = 0$

$3 r - 8 = 0$

Paso 5

Establece $2 r - 1$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 5.1

Establece $2 r - 1$ igual a $0$ .

$2 r - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 r - 1 = 0$ en $r$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 r = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 r = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 r = 1$ por $2$ .

$\frac{2 r}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 r}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Paso 6

Establece $3 r - 8$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 6.1

Establece $3 r - 8$ igual a $0$ .

$3 r - 8 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $3 r - 8 = 0$ en $r$ .

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Paso 6.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$3 r = 8$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $3 r = 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $3 r = 8$ por $3$ .

$\frac{3 r}{3} = \frac{8}{3}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 r}{3} = \frac{8}{3}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{8}{3}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (2 r - 1) (3 r - 8) = 0$ verdadera.

$r = \frac{1}{2}, \frac{8}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$r = \frac{1}{2}, \frac{8}{3}$

Forma decimal:

$r = 0.5, 2.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$r = \frac{1}{2}, 2 \frac{2}{3}$