Matemática discreta Ejemplos

$\log_{2} (r) + \log_{2} (r - 2) = 3$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (r (r - 2)) = 3$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (r \cdot r + r \cdot - 2) = 3$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$\log_{2} (r^{2} + r \cdot - 2) = 3$

Paso 1.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $r$ .

$\log_{2} (r^{2} - 2 r) = 3$

Paso 2

Reescribe $\log_{2} (r^{2} - 2 r) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{3} = r^{2} - 2 r$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $r^{2} - 2 r = 2^{3}$ .

$r^{2} - 2 r = 2^{3}$

Paso 3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$r^{2} - 2 r = 8$

Paso 3.3

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $r^{2} - 2 r - 8$ con el método AC.

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Paso 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Paso 3.6

Establece $r - 4$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 3.6.1

Establece $r - 4$ igual a $0$ .

$r - 4 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$r = 4$

Paso 3.7

Establece $r + 2$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 3.7.1

Establece $r + 2$ igual a $0$ .

$r + 2 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$r = - 2$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(r - 4) (r + 2) = 0$ verdadera.

$r = 4, - 2$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (r) + \log_{2} (r - 2) = 3$ sea verdadera.

$r = 4$