Matemática discreta Ejemplos

$53 = \frac{170 t}{t^{2} + 1}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$ .

$\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$t^{2} + 1, 1$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$t^{2} + 1, 1$

Paso 2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$t^{2} + 1$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$ por $t^{2} + 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$ por $t^{2} + 1$ .

$\frac{170 t}{t^{2} + 1} (t^{2} + 1) = 53 (t^{2} + 1)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $t^{2} + 1$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{170 t}{t^{2} + 1} (t^{2} + 1) = 53 (t^{2} + 1)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$170 t = 53 (t^{2} + 1)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$170 t = 53 t^{2} + 53 \cdot 1$

Paso 3.3.2

Multiplica $53$ por $1$ .

$170 t = 53 t^{2} + 53$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $53 t^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$170 t - 53 t^{2} = 53$

Paso 4.2

Resta $53$ de ambos lados de la ecuación.

$170 t - 53 t^{2} - 53 = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = - 53$ , $b = 170$ y $c = - 53$ en la fórmula cuadrática y resuelve $t$ .

$\frac{- 170 \pm \sqrt{170^{2} - 4 \cdot (- 53 \cdot - 53)}}{2 \cdot - 53}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $170$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{28900 - 4 \cdot - 53 \cdot - 53}}{2 \cdot - 53}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 53 \cdot - 53$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 53$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{28900 + 212 \cdot - 53}}{2 \cdot - 53}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $212$ por $- 53$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{28900 - 11236}}{2 \cdot - 53}$

Paso 4.5.1.3

Resta $11236$ de $28900$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{17664}}{2 \cdot - 53}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $17664$ como $16^{2} \cdot 69$ .

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Paso 4.5.1.4.1

Factoriza $256$ de $17664$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{256 (69)}}{2 \cdot - 53}$

Paso 4.5.1.4.2

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{16^{2} \cdot 69}}{2 \cdot - 53}$

Paso 4.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 170 \pm 16 \sqrt{69}}{2 \cdot - 53}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $- 53$ .

$t = \frac{- 170 \pm 16 \sqrt{69}}{- 106}$

Paso 4.5.3

Simplifica $\frac{- 170 \pm 16 \sqrt{69}}{- 106}$ .

$t = \frac{85 \pm 8 \sqrt{69}}{53}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$t = \frac{85 + 8 \sqrt{69}}{53}, \frac{85 - 8 \sqrt{69}}{53}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = \frac{85 + 8 \sqrt{69}}{53}, \frac{85 - 8 \sqrt{69}}{53}$

Forma decimal:

$t = 2.85760360 \dots, 0.34994356 \dots$